全微分- 維基百科，自由的百科全書

在某一點的全微分（英語：total derivative）是指該函數在該點附近關於其自變數的最佳線性近似。

與偏微分不同，全微分反映了函數關於其所有自變數的線性近似，而非單個 ... 全微分 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目沒有列出任何參考或來源。

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與偏微分不同，全微分反映了函數關於其所有自變數的線性近似，而非單個自變數。

全微分可以看成是把單變數函數的微分推廣到多變數函數上：單變數函數的全微分與其微分相同；而多變數函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。

例如，對於二元函數 f ( x , y ) {\displaystyle\textstylef(x,y)} ，設f在點 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle(x_{0},y_{0})} 的某個鄰域內有定義， ( x 0 + Δ x ,   y 0 + Δ y ) {\displaystyle\scriptstyle(x_{0}+\Deltax,\y_{0}+\Deltay)} 為該鄰域內的任意一點，則該函數在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 的變化量 Δ f = f ( x 0 + Δ x ,   y 0 + Δ y ) − f ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle\scriptstyle\Deltaf=f(x_{0}+\Deltax,\y_{0}+\Deltay)-f(x_{0},\y_{0})} 可表示為 Δ f = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) {\displaystyle\Deltaf=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)} ， 其中 A {\displaystyleA} ， B {\displaystyleB} 皆為常數且僅與點 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle(x_{0},y_{0})} 有關，而與 Δ x {\displaystyle\Deltax} ， Δ y {\displaystyle\Deltay} 無關， ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 {\displaystyle\scriptstyle\rho={\sqrt{(\Deltax)^{2}+(\Deltay)^{2}}}} 。

若 o ( ρ ) {\displaystyleo(\rho)} 是當 ρ → 0 {\displaystyle\rho\rightarrow0} 時的高階無窮小，則稱此函數 f {\displaystylef} 在點 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle(x_{0},y_{0})} 可微分，而矩陣(或向量) ( A , B ) {\displaystyle(A,B)} 即為函數 f {\displaystylef} 在 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 的全微分也簡稱微分，記作 D f | ( x 0 , y 0 ) = ( A , B ) {\displaystyleDf|_{(x_{0},y_{0})}=(A,B)} 或 f ′ ( x 0 , y 0 ) = ( A , B ) {\displaystylef'(x_{0},y_{0})=(A,B)} 。

目次 1存在條件 1.1充分條件 1.2必要條件 2參見 存在條件[編輯] 全微分繼承了部分一元函數實函數（定義域和值域為實數的函數）的微分所具有的性質，但兩者間也存在差異。

從全微分的定義出發，可以得出有關全微分存在條件的多個定理。

充分條件[編輯] 一個多元函數在某點的全微分存在的充分條件是：此函數在該點某鄰域內的各個偏導數存在且偏導函數在該點都連續，則此函數在該點可微。

對於二元函數，此定理可表述為：若二元函數 z = f ( x ,   y ) {\displaystylez=f(x,\y)} 在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 的某鄰域內的偏導數 f x ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystylef_{x}(x_{0},\y_{0})} 與 f y ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystylef_{y}(x_{0},\y_{0})} 存在，且偏導函數 f x ( x ,   y ) {\displaystylef_{x}(x,\y)} 與 f y ( x ,   y ) {\displaystylef_{y}(x,\y)} 在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 都連續，則此函數在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 可微。

需要注意的是，此條件並非充要條件，存在偏導函數不連續但是多元函數可全微分的情況。

如果不滿足這個充分條件，那麼一個多元函數能否全微分則必須由定義加以證明，即驗證 lim ρ → 0 Δ z − [ f x ( x 0 ,   y 0 ) Δ x + f y ( x 0 ,   y 0 ) Δ y ] ρ = 0 {\displaystyle\lim_{\rho\to0}{\frac{\Deltaz-[f_{x}(x_{0},\y_{0})\Deltax+f_{y}(x_{0},\y_{0})\Deltay]}{\rho}}=0} 是否成立。

必要條件[編輯] 一個多元函數在某點的全微分存在的必要條件是：若多元函數在某點可微，則此函數在該點必連續。

對於二元函數，此定理可表述為：若二元函數 z = f ( x ,   y ) {\displaystylez=f(x,\y)} 在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 可微，則此函數在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 必連續。

全微分存在另一個必要條件是：若多元函數在某點可微，則此函數在該點的全微分可表示為各自變數的變化量與該自變數在該點的偏導數之積的和。

對於二元函數，此定理可表述為：二元函數 z = f ( x ,   y ) {\displaystylez=f(x,\y)} 在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 可微，則此函數在點 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(x_{0},\y_{0})} 的全微分為 d ⁡ z | ( x 0 ,   y 0 ) = f x ( x 0 ,   y 0 ) Δ x + f y ( x 0 ,   y 0 ) Δ y {\displaystyle\operatorname{d}z|_{(x_{0},\y_{0})}=f_{x}(x_{0},\y_{0})\Deltax+f_{y}(x_{0},\y_{0})\Deltay} 。

參見[編輯] 微分 偏導數 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=全微分&oldid=65425375」 分類：​微分學多變數微積分微分算子隱藏分類：​自2020年9月缺少來源的條目含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةČeštinaЧӑвашлаDeutschEnglishEsperantoفارسیFrançaisItaliano日本語한국어PolskiPortuguêsРусскийУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結