複數的線積分 - 9lib TW

微積分基本定理：若f (z) 有原型函數(primitive) F (z)，則∫ γ f (z) = F (z) B A (3) 其中A 是γ 的起點，而B 是γ 的終點。

而且特別來說， I f (z)dz = 0 (4) ... menu menu Loading... Home &nbsp 其他 複數的線積分 5  2  Download (0) 顯示更多(4頁) 顯示更多(頁) 立即下載(5頁) 全文 (1)複數線積分 bee* 107.12.21∼107.12.22 複數線積分的整體概念。

1.線積分的定義 設f(z)是一個複數函數，則線積分的形態是 ∫ γ f(z)dz(1) 其中γ是複數平面上的一條圓滑曲線，而f(z)dz是複數乘法，其幾何意義是兩個內積。

f(z)dz=(u(z)+iv(z))(dx+idy) =(u(z)dx−v(z)dy)+i(v(z)dx+u(z)dy) =(u(z),−v(z))·(dx,dy)+(u(z),−v(z))·(dy,−dx) =−−⇀f(z)·−⇀dz+i−−⇀f(z)·−−⇀dz⊥ 其中f(z)=u(z)+iv(z)，就是向量(u(z),v(z))，dz=dx+idy=(dx,dy)，只是複數乘法表 示的內積是共軛複數(f(z))所表示的向量(u(z),−v(z)和−⇀dz,−−⇀dz⊥的內積。

−−⇀ dz⊥表示將−⇀dz順時針旋轉90◦的向量，而f(z)dz的實部與虛部則分別是兩個內積。

再寫一次 f(z)dz=(−−⇀f(z)·−dz⇀ ) +i(−−⇀f(z)·−−⇀dz⊥ ) (2) *bee美麗之家:http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee (2)2.微積分基本定理 微積分基本定理：若f(z)有原型函數(primitive)F(z)，則 ∫ γ f(z)=F(z) B A (3) 其中A是γ的起點，而B是γ的終點。

而且特別來說， I f(z)dz=0(4) 3.全純函數 如果函數f(z)在區域(domain)D上滿足 df(z) dz=c=f ′(z)⇒df(z)=f′(z)·dz(5) 則我們說f(z)是可微函數(differentialfunction)，也可以說是解析函數(analyticfunction)，主要 是因為f(z)可以解析成冪級數(powerseries)，而且在整個D上就稱為全純函數(homomorphic function)。

可微在實變數函數上並不是一個非常強的條件，但是在複變數函數中，可微就是最棒的條件： 可解析，這真是一件非常棒的事實。

4.解析函數 設f(z)是在圓盤D(z0,r)上的解析函數，則 f(z)= ∞ ∑ n=0 an(z−z0)n,an= f(n)(z0) n!(6) 這一個級數依然可以稱為Taylor級數。

這說明解析函數可以視成多項式函數，這樣當我們想做積分時，就可以用多項式來幫忙。

找係 數an還有其他方法： an= 1 2πi ∫ C f(ζ) (ζ−z0)n+1 dζ(7) 或說 n!∫f(ζ) (3)5.全純函數 全純函數是holomorphicfunction的譯稱，意思是在整個域上是解析函數。

根據解析函數的意義 是：f(z)可以寫成冪級數的樣子，意思也就是： I f(z)dz=0(9) 這件事實就是有名的柯西定理(Cauchytheorem)。

Cauchytheorem：設f(z)是一個全純函數，則 ∫ γ f(z)dz=0(10) 其中γ是一個封閉區線。

因為有Cauchytheorem，所以我們就有所謂的圍道積分(contourintegration)。

利用圍道積分 可以求得很多特殊的積分。

6.亞純函數 把全純函數做一個推廣，讓有部分點不可微分的函數也納進討論的範圍，就是所謂的亞純函數 (meromorphicfunction)。

最簡單的亞純函數是1 z，而 I 1 zdz=2πi(11) 這也說明 I a−1 zdz=2πi×a−1(12) 引導出亞純函數f(z)可解析成Laurent級數 f(z)= ∞ ∑ n=0 an(z−z0)n+ ∞ ∑ n=0 a−n (z−z0)n =···+a−2 (z−z0)2 +a−1 z−z0 +a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)2+···(13) 其中係數可以計算如下 an= 1 2πi ∫ C f(z)dz (z−z0)n+1 ,n=···,−2,−1,0,1,2,···(14) (4)在1 (z−z0)n 的部分不一定有無限多項，如果 f(z)=a−n (z−z0)n +···(15) 其中−n不是0，則我們稱此為n階的Laurent級數，且稱 n ∑ k=1 a−k (z−z0)k (16) 是f(z)的主要部分(principalpart)。

給一個域(連通的開集)，如果整個域都是可微的，我們稱此函數為全純函數(holomorphic function)，如果域中有不可微的點，我們稱這些點為奇異點(singularity)，因為型如a z−z0 ，所 以這樣的點也稱為極點(pole)。

因為有極點，所以在域上非全域可解析，所以稱為亞純函數 (meromorphicfunction)，meros就是部分的意思。

7.留數 利用解析的結果，我們可以得到 I f(z)dz=2πi×a−1(17) 也因此，我們把係數a−1定義為f(z)的留數(residue)，主要因為是其他項都有原型(primitive)， 其封閉曲線的積分都是0，所以只剩下單項的積分，即 I f(z)dz= I a−1 z−z0 dz=a−1 I 1 z−z0 dz=a−1×2πi(18) 我們把f(z)在z=z0的留數記為 a−1=resz0f(z)(19) 當z=z0是f(z)的n階極點時，可用極限求得： resz0f(z)=lim z→z0 1 (n−1)! ( d dz )n−1 (z−z0)nf(z)(20) 並得 I f(z)dz=2πi×resz0f(z)(21) (5)當然，當z=z0是1階極點(也稱為簡單極點)時， resz0f(z)=lim z→z0 (z−z0)f(z)(22) 我們有一個實用的計算留數的定理 計算留數定理：設p(z),q(z)在z=z0可解析，且 p(z0)̸=0,q(z0)=0,q′(z0)̸=0(23) 則z0是 p(z) q(z)的簡單極點，且 resz0 p(z) q(z)= p(z0) q′(z0) (24) 8.柯西留數定理 設C是一個封閉曲線，亞純函數f(z)在C的內部恰有n個奇異點z1,z2,···,zn，則 ∫ C f(z)dz=2πi n ∑ k=1 reszkf(z)(25) 閱讀更多 數據 Updating... 參考文獻 bee美麗之家:http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee Download(PDF-5頁-188.14KB) 相關主題: 相關文件 6-3-3多項式函數的積分-定積分的應用 [r]  11   0   5 接受者操作特徵函數線下面積之無母數迴歸分析 Considerpbiomarkersasdiagnostictoolsforaspecificdiseaseandalargevalueofthebiomarkerfavorsapositivediagnosis..LetXandYbethevectorsofpvariablesfor  15   0   0 微積分積分鑑定法與p-級數 [r]  2   0   0 微積分:交錯極數 Butthequestionstillis”Doestheoriginalseriesconverges?”Answer:YES!.Theorem91IftheseriesP||converges,thethe  4   0   0 微積分:函數的極值 Thereisatleastonepointinwheretakesonaminimum  2   0   1 微積分:反導函數 [r]  3   0   2 微積分:多變數函數的微分 Thesetisthedomainofandthecorrespondingsetofvaluesfor()istherangeof.Example146Findthedomainofeachofthefollowing  3   0   1 微積分:對數函數 Definition23Thenaturallogarithmicfunctionisthefunctionthatasso-ciateswitheachpositiverealnumberthepowertowhichmustberaisedtoproduce..Thefunctionis  2   0   1 微積分:指數函數 [r]  2   0   0 微積分:指數函數的微分 ByL’Hopitai’s  2   0   3 微積分:數列 Mathematicslly,asequenceisdefinedasafunctionwhosedomainisthesetofpositiveintegrals..Althoughasequenceisafunction,itiscommontorepresentsequencesubscript  4   0   0 微積分:級數比較法 Inthefollowingpairs,thesecondseriescannotbetestedbythesameconvergencetestasthefirsteventhougnitissimilartothefirst..(Ifthe”larger”  2   0   0 相關文件 4-2次數分配表與累積次數分配曲線  1   0   10 複數的線積分例子(1)  7   0   2 重複觀測量數之分析：多群體多變項線性成長模式的估計  28   0   3 6-2-1多項式函數的微積分-微分  8   0   10 6-2-2多項式函數的微積分-函數性質的判定  12   0   26 6-2-3多項式函數的微積分-積分的意義  12   0   0 6-2-4多項式函數的微積分-積分的應用  7   0   15 6-3-1多項式函數的積分-黎曼和與面積  13   0   1 6-3-2多項式函數的積分-定積分與反導函數  10   0   4 6-3-3多項式函數的積分-定積分的應用  11   0   5 接受者操作特徵函數線下面積之無母數迴歸分析  15   0   0 微積分積分鑑定法與p-級數  2   0   0 微積分:交錯極數  4   0   0 微積分:函數的極值  2   0   1 微積分:反導函數  3   0   2 微積分:多變數函數的微分  3   0   1 微積分:對數函數  2   0   1 微積分:指數函數  2   0   0 微積分:指數函數的微分  2   0   3 微積分:數列  4   0   0 微積分:級數比較法  2   0   0 微積分:級數與收斂  3   0   1 對數-雙曲線分布於粒徑分析及區分沉積環境之評估  5   0   2 顯示更多