微分
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對等定義 ·L¤À ·L¤À ³Ì²³æ¹ê¼Æ¨ç¼Æªº·L¤À À³¥Î± ´X¦ó± ¹ïµ¥©w¸q differential R2¨ìR¨ç¼Æªº·L¤À totaldifferential Rm¨ìRn¨ç¼Æªº·L¤À ¤è¦V¾É¼Æ °¾·L¤À ¤è¦V¾É¼Æ¤§pºâ¤½¦¡ ©â¶HªÅ¶¡¤W¨ç¼Æªº·L¤À ·L¤À ³Ì²³æ¹ê¼Æ¨ç¼Æªº·L¤À ³]f:(a,b)R,c(a,b). ¦pªGlimxc¦s¦b,«hºÙ¦¹·¥È¬°f¦bcÂIªº·L¤ÀÈ,°O¬°f'(c).¨ÃºÙf¦bcÂI¬O¥i·Lªº. À³¥Î±: t¥Nªí®É¶¡,f(t)¥Nªít®É¶¡©Ò¨«ªº¶ZÂ÷.f'(c)¥Nªí? tªº³æ¦ì¤£¦P,¹ïcÈ»P¹ï·L¤ÀȦ³¼vÅT¶Ü? Á|¤@Ó¨ä¥LÀ³¥Îªº¨Ò¤l¬Ý¬Ý. ´X¦ó±: f'(c)»Pfªº¨ç¼Æ¹Ï§Î¦³¤°»òÃö«Y?(¹Ï§Î°Ñ¦Ò) differential f¦bcÂIªºdifferential:df=f'(c)dx. Q:dfªº¥Î³~¬°¦ó? Q:·L¤À¤½¦¡¬O¬Æ»ò?¦³¥²n¶Ü? Q:©w¸q¤¤¥Î¨ì¹ê¼Æªº°£ªk,¦pªGf:R2R,¦V¶q¨S¦³°£ªkn«ç»ò¿ì? ¤S:¦pªGlimxc+¦s¦b,«hºÙ¦¹·¥È¬°f¦bcÂIªº¥k·L¤À. ¦pªGlimxc-¦s¦b,«hºÙ¦¹·¥È¬°f¦bcÂIªº¥ª·L¤À. Q:¬°¤°»ò©w¸q¨Ç? f:(a,b)R,f¦bcÂI¥i·L¤§¹ïµ¥©w¸q. ²Å¸¹:¦b¥±¤W,¹L(c,f(c))¤§ª½½u¬°:AL(x)=f(c)+L(x-c).(L¤£¦P,ª½½u±×²v¤£¦P). ³]EL(x)=f(x)-AL(x).(L¤£¦P,EL(x)¤]¤£¦P,µeµe¬Ý!) Q:EL(x)¥Nªí»~®tªº·N«ä¶Ü? ¹ïµ¥©w¸q:¦pªG¦s¦bL,¨Ï±o·íxc®É,EL(x)=o(|x-c|),«hºÙf¦bc¥i·L. Q:¤WzL=f'(c)? ¤GºØ©w¸q¤Á¤JÂI¦³¦ó®t²§?þ¤@ºØ§Î¦¡¥i¥H¦bf:R2Rªº±¡ªp¤U¨Ï¥Î? top R2¨ìR¨ç¼Æªº·L¤À f:DR2R,¬°Dªº¤ºÂI.f¦bÂI¥i·L¤§©w¸q. ²Å¸¹:¦bªÅ¶¡¤¤,¹L(,f()¡^¤§¥±¬°:. (¤£¦P,ªk½u¤è¦V¤£¦P) ³]E()=f()-A().(µeµe¬Ý!) ©w¸q:¦pªG¦s¦b,¨Ï±olim=0(©Î¼g¬°·í®É,|E()|=o(|-|),«hºÙf¦bÂI¥i·L. totaldifferential f¦b(c1,c2)ÂIªºtotaldifferential(¥þ·L¤À)¬O:df= top Rm¨ìRn¨ç¼Æªº·L¤À ³]f:DRmRn,¬°Dªº¤ºÂI. ²Å¸¹:¹L(,f()¤§¥é®g¨ç¼Æ(¥²¾¤§½u©Ê¨ç¼Æ)¬°:.(L¬°¯x°}). ³].(L¤£¦P,¤£¦P) ©w¸q:¦pªG¦s¦b¯x°}L,¨Ï±olim=0(©Î¼g¬°·í®É,|()|=o|-|),«hºÙf¦bÂI¥i·L.¦¹®É,±NL°O¬°. ªºªø¬Û¬°: () ·ín=1®É,¬°¤@³æ¦æ¯x°}.±N¨äªí¬°mºû¦V¶q®É,ºÙ¬°¦bªº±è«×(gradient),°O¬°. top ¤è¦V¾É¼Æ ³]f:DRmRn,¬°Dªº¤ºÂI.¬°Rm¤¤¤§«D¹s¦V¶q.¬°¤è¦Vªº³æ¦ì¦V¶q. «hf¦b¹ï¤è¦Vªº¤è¦V¾É¼Æ©w¸q¬°:limt0. Q:f¦bÂI¹ï3ªº¤è¦V¾É¼Æ»Pf¦bÂI¹ïªº¤è¦V¾É¼Æ¬Û¦P¶Ü? Q:f¦bÂI¹ï-ªº¤è¦V¾É¼Æ»Pf¦bÂI¹ïªº¤è¦V¾É¼Æ¬Û¦P¶Ü? Q:·ím=n=1®É,¦p¦ó¥Î"¤è¦V¾É¼Æ"ªº»¡ªk¨Ó»¡f¦bcªº¥ª·L¤À?¥k·L¤À? ¯S®íªº¤è¦V¾É¼Æ:°¾·L¤À. ·í=(1,0,...,0),f¦b¹ïªº¤è¦V¾É¼Æ(¦pªG¦s¦b),ºÙ¬°f¦bÂI¹ïx1ªº°¾·L¤À,°O¬°. ªºpºâ:±Nx2,...,xmµø¬°±`¼Æ,±Nx1µø¬°³æ¤@ÅܼÆ,¥Î³æÅܼƪº·L¤À¤½¦¡ºâ.(Why?) Q:¨ä¥L¤è¦Vªº¤è¦V¾É¼Æªºpºâ¦³³o»ò¤è«K¶Ü? f¦bÂI¹ï¬Y¤@¤è¦Vªº¤è¦V¾É¼Æ¦s¦b,¨Ã¤£«OÃÒf¦bÂI¤§¨ä¥L¤è¦V¾É¼Æ¦s¦b. Q:¸ÕÁ|¤@¨Ò. f¦bÂI¤§©Ò¦³°¾¾É¼Æ(mÓ)³£¦s¦b,¨Ã¤£«OÃÒf¦bÂI©Ò¦³¤è¦V¾É¼Æ¦s¦b. Q:¸ÕÁ|¤@¨Ò. f¦bÂI¥i·Lvs.f¦bÂI¤§¤è¦V¾É¼Æ. f¦bÂI©Ò¦³¤è¦V¾É¼Æ³£¦s¦b¤£¤@©w«OÃÒf¦bÂI¥i·L. Q:¥Î¥ª·L¤À¥k·L¤ÀÁ|¨Ò¤l. f¦bÂI©Ò¦³°¾¾É¼Æ¦s¦b¥B³sÄò,«hf¦bÂI¥i·L. f¦bÂI¥i·L«hf¦bÂI©Ò¦³¤è¦V¾É¼Æ³£¦s¦b. ¦pªGf¦bÂI¥i·L,«hf¦b¹ïªº¤è¦V¾É¼Æ¤§pºâ¤½¦¡¬°: °Ñ¦Ò/mathinsight. top ©â¶HªÅ¶¡¤W¨ç¼Æªº·L¤À X:BanachªÅ¶¡(¦p:¨ç¼ÆªÅ¶¡).f:XR. f¦bc¥i·L¤§©w¸q¬°:¦s¦b¤@½u©Ê¨ç¼ÆL(c):XR, ¨Ï±o¹ï©Ò¦³yX,·í|y|0®É,f(c+y)=f(c)+L(c)y+o(|y|)¦¨¥ß. ¨Ò:X=H01,2()(Sobolev¨ç¼ÆªÅ¶¡),,¨ä¤¤gº¡¨¬¥¤è¥i¿n¤À. «h¹ïvX,f'(u)v=. ¥BfªºÁ{¬ÉÂI(criticalpoint)u(¦pªG¥·Æ)º¡¨¬:. top
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