函數y = f (x)圖形取平移與對稱後的方程式@ isdp2008am - 隨意窩

數學學習心得. 對一個函數 來說，若將其函數圖型往右平移5，往下平移3，我們知道新的函數圖形方程式為. ;. 但如果改成往左平移4，往下平移7，則新的函數圖形方程式為. isdp2008am[交大理學院學士班數學小站]提供對數學有興趣的學生們課堂之外的線上學習園地，本網誌的內容走向希望朝向[數學理論]與[數學應用]兼備，成立目標是希望對數學有興趣的學生們可以在此吸收更多數學相關知識，達成跨領域學習的成效。

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)日誌相簿影音好友名片 201412101053函數y=f(x)圖形取平移與對稱後的方程式?數學學習心得         對一個函數來說，若將其函數圖型往右平移5，往下平移3，我們知道新的函數圖形方程式為   ; 但如果改成往左平移4，往下平移7，則新的函數圖形方程式為   .      或許，對某些學習數學的人來說，上面的解法，都是透過強記下面原則而來： [若a>0，y=f(x)的方程式，往右移a則x要變成x-a、往左移a則x要變成x+a、往上移a則要變、往下移a則要變 ] (其中*是或) 這樣的記法，不但左右移和上下移的規則相反(因為往右要減，往上卻要加)；而且也和點的平移規則(往右要加，往上也要加)不同。

因此，我們應該"理解"這個平移規則，而不是強記。

  要怎麼理解呢？我們應回到點的平移來看。

我們知道，任選上的一點，則存在a滿足 這時候，若函數進行的平移，規定其中"h為正"時表示"往右平移"、"h為負"時表示"往左"；"k為正"時表示"往上平移"、k為負時表示"往下"，例如：時，表示將進行"往左3並往上2"的平移。

  函數圖形平移後，上面任取一點也會跟著平移到另一點 這時候，若我們想知道所有上述點所滿足的函數方程式為何，我們可以假設 其中表示平移後所得的點的橫座標與縱座標，使用是為了暫時避免與的搞混。

此時注意由(1)知 將(2)代入(3)，就得到，此即P'(x',y')所滿足的方程式。

  接下來，我們要告訴自己，P'(x',y')使用的只是分別用來表示P'的橫坐標與縱座標，是"功能取向"的符號，因此我們可以將改回為，但是P'不能改回P，因為P,P'是不一樣的點(分別表示平移前與平移後的點)。

所以，P'(x,y)滿足 (4)式就是圖形平移(h,k)後的函數方程式，也就是我們一直想記住的規則。

其實，此規則是可以透過上述方法，藉由點的平移後，推導出點所滿足的方程式來理解。

          函數對稱也是有趣的課題。

底下分兩類來探討： (A1)若兩函數和的圖形對y軸對稱，任取上一點，取對y軸的對稱點，則 會落在y=g(x)上，代入可得，而a可為f定義域中的任意數，因此恆成立(對任意f定義域中的x)。

 (A2)若兩函數和的圖形對x軸對稱，任取上一點，取對x軸的對稱點，則 會落在y=g(x)上，代入可得，即，而a可為f定義域中的任意數，因此恆成立(對f定義域中的任意x)。

  所以有：(1)y=f(x) 對y軸做對稱所得圖形，其方程式為y=f(-x)；(2)y=f(x)  對x軸做對稱所得圖形，其方程式為y=-f(x)。

           底下，分別探討方程式圖形和分別對鉛直線x=h與對水平線y=k對稱的情形，因為較複雜，讀者若沒有興趣的可以就此打住，不看亦無妨： (B1) 若兩函數和的圖形對鉛直線x=h對稱，任取上一點P(a,f(a))，再取P(a,f(a))對x=h的對稱點P'，P'在y=g(x)上，其座標取法可見下。

下面兩張圖表示分成兩種情形來看，但結果相同： 因此得P'(a+2(h-a),f(a))=(2h-a,f(a))，則 P'(x,y)=(2h-a,f(a)) 會落在y=g(x)上，代入可得f(a)=g(2h-a)，而a可為f定義域中的任意數，因此f(x)=g(2h-x)恆成立(對任意f定義域中的x)，令x'=2h-x，則x=2h-x'，代入f(x)=g(2h-x)得 f(2h-x')=g(x') 此時x'再次視為功能性的符號，因此將x'可改回為x得 g(x)=f(2h-x).  (B2) 若兩函數和的圖形對水平線y=k對稱，任取上一點P(x,y)，則P(x,y)=(a,f(a))，取P(a,f(a))對y=k的對稱點 P'(a,f(a)+2(k-f(a)))=(a,2k-f(a)) P'的取法類似上面的圖形推導，讀者可自己試試看。

得到的P'(a,2k-f(a))，會落在y=g(x)上，代入可得2k-f(a)=g(a)，而a可為f定義域中的任意數，因此g(x)=2k-f(x)恆成立(對任意f定義域中的x)。

  所以有：(1)y=f(x)對x=h對稱的方程式為y=f(2h-x)；(2)y=f(x)對y=k對稱的方程式為y=2k-f(x)。

 (本文作者：連威翔，曾任職於交大理學院科學學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks一道高中數學競賽筆試問題的另解一道共線問題的再探一道徵答題的解法分享(雙週一題2022春季第7題)Anothersolutiontoanalgebraproblem一道線性方程組問題的推廣與另解一道排列組合問題的另解(JEE)一道組合問題的遞迴解法一碗三球問題的另解一道趣味問題的求解過程分享(Whena/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1...)兩道代數題的另解 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！