偏微分方程：计算基本理论- GentleMin - 博客园

偏微分方程的计算基本理论，包括初始条件、边界条件，二阶偏微分方程的分类. 首页 新闻 博问 专区 闪存 班级 我的博客 我的园子 账号设置 简洁模式... 退出登录 注册 登录 GentleMin 偏微分方程：计算基本理论 偏微分方程的计算基本理论，包括初始条件、边界条件，二阶偏微分方程的分类 1.偏微分方程 　　偏微分方程（PartialDifferentialEquation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。

　　在物理模型中，最常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。

最简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。

2.二阶线性偏微分方程的一般讨论 　　一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式： $$a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial^2u}{\partialx\partialy}+c\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+d\frac{\partialu}{\partialx}+e\frac{\partialu}{\partialy}+fu(x,y)+g(x,y)=0$$　　根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式： 　　$\Delta=b^2-4ac>0\quad\Rightarrow\quad$双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统 　　$\Delta=b^2-4ac=0\quad\Rightarrow\quad$抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统 　　$\Delta=b^2-4ac<0\quad\Rightarrow\quad$椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统 　　常见的经典二阶线性偏微分方程： 　　1)波动方程：$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-\frac{1}{a^2}\nabla^2u=f(x,y,z,t)$，一维的波动方程$\Delta=\frac{1}{a^2}>0$属双曲型方程； 　　2)热传导方程：$\frac{\partialu}{\partialt}-k\nabla^2u=f(x,y,z,t)$，$\Delta=0$属抛物型方程； 　　3)泊松方程：$\nabla^2u=f(x,y,z,t)$其齐次形式$\nabla^2u=0$称为拉普拉斯方程。

拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。

3.初始条件和边界条件 　　正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。

边界条件 　　边界条件规定了未知量$u$在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。

如果$u$的偏微分方程的区域关于自变量$x$的边界是$x=x_1$和$x=x_2$（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式：$$u(x,y)|_{x=x_1}=u_1(y),\quadu(x,y)|_{x=x_2}=u_2(y)$$　　就构成了一组边界条件。

　　一般地说，边界面的形状记作$\Sigma$，则比如： 　　1)第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：$u(x,y)|_{\Sigma}=\phi(x,y)$ 　　2) 第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件（给出未知量的偏导数值）：$\frac{\partialu(x,y)}{\partialn}=\psi(x,y)$ 　　3) 第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件（给出未知量取值和偏导数的线性叠加）：$\alphau(x,y)|_{\Sigma}+\beta\frac{\partialu(x,y)}{\partialn}=\gamma(x,y)$ 　　边界条件的类型非常丰富，只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件，一些常用但比较特别的比如： 　　a)规定无穷远处未知量$u$为零：$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}u(x,y)=0,\quadr=\sqrt{x^2+y^2}$； 　　b)或者正则条件，给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式：$u(r)\sim\frac1r$ 　　b)规定某点处未知量$u$有界：$u(x_0,y_0)$有界 初始条件 　　初始条件规定了未知量$u$在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。

比如关于独立变量$x,y$的未知量$u(x,y)$：$$u(x,y)|_{x=x_0}=u_0(y),\frac{\partialu}{\partialx}|_{x=x_0}=f(y)$$　　就构成了初始条件。

有时，初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形，实际上也可以理解为一种边界条件，但是初始条件是“单边条件”，即只给出一个变量在一个点的值，而不会给出在整个边界上的信息，因此二者很容易区分。

　　初始条件得名的原因是，给出初始条件往往是对于时间变量t，其物理意义为初始时刻系统的状态。

  posted@ 2018-11-0719:24  GentleMin  阅读(7373)  评论(0)  编辑  收藏  举报 刷新评论刷新页面返回顶部 Copyright©2022GentleMin Poweredby.NET6onKubernetes