玩弄數學題目 - 臺灣網路科教館

全班表示同意後，我說：「第4 、 5 、 6 的解法都是對的，答案也都正確。

你們心裡不安的原因，是你們習慣於數學問題只有一組正確的答案。

但是，我們運用數學來解生活中的 ... 首頁 生活科學廳生活科學補給站 分類查詢 全文檢索 科展群傑廳科展資料 生活科學廳問與答及補給站 教學資源廳影音資源 作品名稱 作品摘要 指導老師 全文 資源名稱 全文 資源名稱 全文 名稱 講者 全文 生活科學補給站 化學 生物 健康教育 地球科學 數學 生活科技 物理 專題導言 STEAM 玩弄數學題目 瀏覽人次15476 加入最愛 資料來源科學研習月刊48-7 黃敏晃/台大數學系退休   1.逆向思考 著名的瑞士發展心理學家皮亞傑(J.Piaget，1897-1980)，將人的認知發展(cognitivedevelopment)分成幾個大階段，即感覺動作期(sensori-motor)，前操作期(pre-operationalstage)，具體操作期(concreteoperationalstage)，及形式操作期(formaloperationalstage)，小學生大都屬於具體操作期，而國中生則是由具體操作期，過渡到形式操作期的關鍵階段。

當然，這樣的說法是平均性的。

因為有些小學生已經進入了形式操作期，而有些高中生，甚至於大學生在數學領域卻還停留在具體操作期。

其差異在於當此人遇到適當的刺激（學校的制式數學課程中，這樣的機會夠多）時，肯不肯自行動腦筋操練。

若他只想請別人教他如何算出正確答案，不想理解為什麼要如此算，他的認知發展就會延遲。

所以，筆者的座右銘是"勞者多能"，而非"能者多勞"。

數學教育的終極目標是，希望每個人都能形式地操弄抽象的數學概念，以得到數學題目的答案；進一步也希望大家能將如此的形式運思能力，遷移（transfer）到非數學領域的解題上。

由此看出，由具體操作期提升到形式操作期，是小學高年級和國中數學課程中非常重要的任務。

值得這兩階段的數學老師花時問思考，如何的教學才能順利達成任務。

形式操作期的人有許多特徵，是具體操作期的小孩尚未發展出來的，其中一項是逆向思考的能力。

數學中的逆向解題，是在題目尚未解出前，假設已經解出，再由結果(是未知的)倒推回去。

不難看到，這是蠻強的能力。

因此，我常用逆向思考才方便解的題目，做為檢驗學生是否已然進入形式操作期。

有次，我對某班六年級生出了一道題目如下（取自數學偵探，P.34~35，小天下）。

題目1 某餐即只有情同姊妹的三位女侍，她們習慣每天共享全部小費（暫時放在櫃台後一個筒內，下工返家前平分拿走）。

有晚甲回家前從筒裡拿了三分之一的錢後，留下960元。

次日中午前甲最早到店，發現昨晚留下的960元，原封不動留在話筒中。

她問後來陸續到店的乙和丙，她們都說昨晚有從筒中拿走三分之一的錢才回家。

原來甲竟是三人中最後離店的，問昨天收到的小費總共多少元？ 我喜歡這道題，因為題中數目很少只有960元和1/3，解題時，得將題目故事(Problemstory)的流程列出後，由尾巴倒回來解，是個典型的逆向思考題。

筆者心中的流程，可以下圖表示。

  2.關鍵字眼 會從一個故事境中抽出段落狀態，寫出流程，是一種高級的心智能力，需要學習鍛練後才能夠用的得心應手。

但學校的制式數學課程中，並沒有將它當作一項教學目標。

許多小學老師抱怨，她們的學生遇到文字描述的情境題時，常喜歡用關鍵字法解題。

以致有時結果南轅北轍，不知所云。

下面所舉兩道題目(取自筆者的書數學年夜飯，P.162~163，心理出版社)，用關鍵字法解題是一定解錯的。

題目2 甲、乙、丙三人合資做生意，賺了614,300元後，甲拿了他應得的利潤185,000元退出合作。

問乙和丙共賺了多少錢？ 題目3 林老師為他班上同學明天要舉辦的慶生會買了12包餅乾，當晚她開了一包和她的家人試吃，她家裡6個人每人一塊剛好分完這包餅隊。

問還剩下多少塊餅乾？ 這兩項題目故意將學生會注意到的關鍵字＂共＂和＂剩下＂放入題中文字，引誘學生踏入佈好的文字陷阱。

因沒有好方法及耐心(因為教如何了解題意需要長時期的培養)作這方面的教學，許多老師和家長都走速成的"皇家捷徑"(好像楚古希臘時代的大哲學家柏拉圖說過：ThereisnoroyalShortcuttogeometry，當時流行的數學就是幾何geometry)，即教小孩看到題目有"共"就加或乘，有"剩下"或"餘"的字眼就減或除。

這樣的結果可想而知，碰到例行性的文字題時當然通行無阻。

相對於沒學到如此的訣竅，而自行努力掙扎來了解題意(數學題目中的情境可以隨意變化，對小孩而才，把適當的數學概念從一個情境，遷移到另一情境並不如想像的容易，卻是學到數學抽象化精神的必要歷程)的學生，解題效率和由此得到的成績，固然有天壤之別會讓師長得到暫時的滿足。

但是，一路掙扎著學習的學生，若沒有氣餒，信心沒被擊潰，而且戰勝困難，成功學會，則他長期之後的發展，必然勝過一路用偷吃步方法學數學的學生。

因為在掙扎的過程中，他已經養成了能力。

不用說複雜的非例行性問題，就如上面三道題目，就足以把投機者三振出局了。

下面再布一道非例行性問題他是取自數學年夜飯，P.183~200)，供讀者參考。

題目4 一年的十二個月當中，有幾個月是有五個星期天的？提示：本題答案不只有一組解。

3.多元解決 讓我們把討論的焦點，拉回到題目1的解題。

如果讀者了解上面的流程圖，難按照它解出此題的答案。

分三段，由尾巴解回來如下： 1.流程圖的尾巴，即最右邊的箭頭說，甲在B元（無法用其他方式稱呼這筆錢用記號表示：這裡採用代數手法，文字母）中拿走1/3後，剩下960元；故960元是B元的2/3。

這表示甲拿走了960元的一半，即480元。

所以，B=960+480=1440元。

2.流程圖的中間箭頭說，丙由A元中取走1/3後剩下B元；現在已知B=1440元，故模仿上段的計算過程，可以算出A=B×3/2=B=1/2B=1440+720=2160元 3.流程圖的最左邊箭頭說，乙從櫃台後錢筒中，當天累積的總共小費中提出後1/3剩下A元；現在已知A=2160元，故模仿上而方法算出當天總共的小費是2160×3/2=2160+1080=3240元   這是我在向此班學生布題目1時，心中預想的解法和答案。

我希望經過討論，最後能出現類似這樣的解法，於是我讓學生分組討論約5分鐘。

這班30位同學，平常就習慣分組，5人一組共6組。

看起來，小組討論的狀況還蠻順暢的，但仍然被要求延長到10分鐘。

分組討論時間結束後，各組都到黑板上寫出解與答。

有趣的是6組都各有不同解題想法，如下。

其中雖然也有錯的，解釋不清楚的，已然大大超出我的預期。

1.960元×1/3=320元。

因為題目中只有這兩個數目，他們判斷要用乘法解題。

2.960元×3=2880元，沒弄清楚題意，以為每人拿到960元小費，3人就乘上3。

3.960元÷2=480原是甲拿走的，480元×3=1440元，是全部小費。

4.乙、丙兩人一起先走，甲後來才走。

先算甲拿走的錢960÷2=480元，故乙、丙走後留下了960+480=1440元；而這筆錢是總共小費的1/3，故總共的小費是1440元×3=4320元。

5.乙先走，丙次走，甲最後走，但丙知乙有先拿了1/3。

和4一樣，得先算出甲拿走的錢960元÷2=480元，故丙拿走他那一分後留下的錢是960+480=1440元給甲；故丙也拿了1440元，即乙走後留下了1440+1440=2880元；而乙也拿了一樣多的錢，所以，總共的小費是2880+1440=4320元。

6.乙先走，丙次走，甲最後走，但丙和甲都不知道有人先走，以為自己第一個走的人。

這組合我的解題想法相同，但他們用代數方程列式求解，且有流程如下   4.活學活用 當我要求全班安靜下來，把注意力放到黑板上時，他們赫然發現，黑板列出了6組不同的解題，5種不同的答案。

課室中立刻傳出驚呼聲，到底那種解是對的？那種答案才是正確的？許多老師不喜歡課室產生爭議，因為秩序可能因此變亂，失去控制；再加上爭議背後的實質問題，可能不容易掌握。

有收老師沒信心，甚至於連學生的解法對不對，都搞不清楚。

這可能是有些老師堅持，學生一定只能用老師的解法解題的原因之一；不如此就打錯，多輕鬆，但老師的一言堂對教育多麼不真誠！ 教育的目的在培養學生的能力，使他們出社會後，有能力適應今日變化萬千的社會環境。

能力的擁有包含知識的取得，但後者並不能前者的全部。

但擁有許多知識的書呆子，常作風保守，思想和行為都不夠變通。

當我們說，知識就是力量時，前提是我們會活用知識。

什麼叫活用數學知識？單純的說，就是在他的生活中碰到困難時，能借用數學知識幫忙解題。

筆者有次在某家Pizza店偷聽到排在我前面的幾位小朋友（應該是小學高年級生）的如下對話。

「9寸（直徑）的是2人份，12吋的4人份，好奇怪喲”」 「有什麼奇怪的？」 「不成比例呀！2人變4人，尺寸沒加倍。

」 「對喲，應該是18吋，但18吋的Pizza好大。

」 「慢一點，Pizza是面積，不是長度。

」 「什麼意思？」 「Pizza是圓面積，你們還記得圓面積的公式嗎？」 「記得，是圓周率乘上半徑乘半徑？」 「但是9吋和12吋，是不是要換算成公分才能計算？」 「怎麼換算？」 「我記得1吋相當於2.54公分，但乘起來好煩。

」 「有電算器就好了”」 「不要換算了，英國人怎麼算面積，難道他們也要把公分換成英吋才能算？」 「有道理，我們就直接算。

9×9是81，12×12是144，還要乘上圓周率。

圓周率要用3，還是3.14？」 「討厭死了，還要做三位小數和3位數的乘法。

真的是沒電腦算不動了”」 「算起來頭大，不如不算圓周率，就用81和144來算，好像不是1倍。

」 「81的一半是40，算1人份，4人份應該是160才對，少了一點。

」 「如果把144除以4，則1人份是36，跟40也很接近了，可以了啦”」   在上面的對話中，雖然他們數學知識用的不是很正確（例如，錯把直徑當半徑，圓周率不乘就看是否2倍，40與36等的單位也沒弄清楚），卻沒有影響推論的結果。

重要的是，他們確實是在使用”圓面積”相關的知識，在解決問題（關於Pizza直徑和分享人數不成比例的困感）。

我認為是小孩活用數學知識的一個好案例。

5.小組報告 老實說，我還蠻喜歡我上課（不管對象是當老師或學生）的課室中產生爭議的。

當然是與上課內容戚戚相關的，而非風馬牛不相干的爭議。

爭議常因為對同一個議題，出現了兩造不相同的看法；有時在討論後能相容，有時則是互相矛盾的。

課室中的爭論，使每個人都集中精神，想弄清楚誰對誰錯。

處理爭議最佳的方法，是不要怕浪費時間，讓雙方辯個一清二楚。

在此過程中，課室中的每個人，即使沒有直接參與辯論，卻會隨著兩造針鋒相對的理由共舞，大動腦筋想作個明智的判斷，到底那方的理由比較充足？也許因此就產生了認知衝突（cognitiveconflict)。

皮亞傑說，沒有認知衝突，就沒有學習。

課室中的爭議，提供了多好的學習機會！ 我各組輪流上台報告，說明他們留在黑板上的解題記錄。

第1組和2組，說不清楚他們為什麼要乘於1/3和3，很快自己認錯下台。

第3的過程中，算出甲拿到480元是對的，因為甲把筒中錢3等分她拿走1份後剩下2份是960元，故1份楚960÷2=480元；但480X3=1440元為全部小費的答案，則是錯的，乙和丙拿到的錢卻要比480元多，這點受到大家的質疑，他們無法圓滿說明，只好認錯而退第4組和5組的最後答案一樣，表示他們對題目意義的解釋相同，即乙和丙在分小費時是互相知道的，（雖然他們所說的題目故事不完全一致，第4組說乙、丙一起走了，第5組說乙、丙雖沒一起來，但後來的丙知道乙先走了），故算出4320元為總共的小費。

過程中都先算出乙、丙走後留下給甲的1440元，這筆款項其實是總小費的1/3。

雖然最後的算法梢有不同（一組用加法，另一組用乘法），但並不影響最後的結果。

這兩組報告後都得到全班的鼓掌肯定。

第6組因用到英文字母X代表未知數故花了些時間回答同學關於這方而的問題，如”X”是什麼？”為什麼不用國字，或□、○、△等符號？’等擦邊球，但大家都察覺到，用符號代表未知數很方便，尤其列出流程圖更是得到全班的讚賞。

然而解出的答案與第4、5組不同，使全班感到不安。

他們全都把頭轉向我，要我做出誰對誰錯的裁決：「老師，到底那個答案才是對的？」 我當然也不會放棄這麼好的機會，於是太極拳招式出手"如封似閉"、"一順水推舟"，把問題原封不動丟回去：「你們自己的意見呢？各小組討論一下吧！」沒想到小組討論沒多久，就有人舉手發問：「老師，要討論什麼？」我說：「就是這些解法和答案，誰對誰錯啊。

」他們說：「這沒什麼好討論的，我們認為第4、5、6組的解法都對，但卻出現了兩組不同的答案，這才麻煩。

」班上立刻有許多附和的聲音，要求澄清討論的內容。

我說：「那你們為什麼認為，這三組的解法都是對的呢？」 6.判斷選擇 有位小女生舉手發言：「因為這三組講的故事情節，沒有違背題目的意思。

」另一組的一位小男生補充說：「因為題目只說甲是最後走的，沒說乙和丙誰先走，或是一起走。

所以，這三組的講法卻是可能發生的。

事實上，也只有這三種狀況不可能有第四種啦」。

我問：「同意嗎？有人有另外的意見嗎？」全班表示同意後，我說：「第4、5、6的解法都是對的，答案也都正確。

你們心裡不安的原因，是你們習慣於數學問題只有一組正確的答案。

但是，我們運用數學來解生活中的實際問題時，解答常不只一組。

譬如說，假說我們班明天要開慶生會，老師拿1000元請同學去買飲料和點心，不同的同學解決買回的東西一定不同，對不對，甚至有人還會省一些錢找給老師。

」有人喊：「不用了，當跑路工放口袋就好了。

」全班大笑。

我繼續說：「數學課本裡的題目，命題的目的是希望你們用某種特定的數學知識或方法解題（檢驗學生是否學到），故不會讓同學弄不清楚，老師出考試題時也大致如此。

但真實的題目，被不一定這樣單純，有時候你需要判斷，找理由支持你的決定，有時還得想出各種解法，然後選擇其中一種。

」之後，我出了下面兩道題合同學討論。

題目5 救國團（早期的全國性青年社團）活動中心的統計顯示，男、女生宿舍的用水量很不同，平均每位男生每天15公升，女生每天20公升。

有人因此推論說，女生洗澡比男生仔細，所以女生比較乾淨；但有人反駁說，因為男生一般說來比較乾淨，故洗澡時不需要用那麼多的水。

你認為那種講法較有道理？ 題目6 甲、乙常結伴登山，有天接近中午時在深山遇到因迷路而挨餓的山友丙，遂邀他共同進餐•甲、乙各帶了5條和4條一樣大小的麵包，三人一起吃完這9條麵包後，丙拿出一張千元大鈔酬謝，兩人推辭不掉，只好接受。

問他們該如何分這筆錢？為什麼要這樣分？ 題目5使全班男女各成一幫，吵成一團，我只好制止，並請他們討論題目6。

結果6組同學，給出3種不同的分法如下親愛的讀者，你喜歡那種分法呢？ A.各分500元，因為兩人都出力幫忙了，錢也不是那麼多，無需斤斤計較，傷了兩人的友情。

B.B把1000元依5:4的比例分給甲和乙，因為這是兩人登山跡，買麵包所花的錢之比例，意義是投資報酬率。

C.把1000元依2:1的方式分給甲和乙。

因為3人一起進餐，平分了9條麵包，故每人用去3條，在丙食用的3條中，甲、乙各提供了2條和1條，所以這樣才能反應兩人的實質貢獻。