解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》

這個方程式當然有許多正整數解，例如：x = 3，y = 4，z = 5；x = 6，y = 8，z = 10；x = 5，y = 12， z = 13 ⋯⋯等等。

費馬聲稱當 n ≥ 3 為正整數時， 就不存在非零的 ... 002文字分享友善列印繁|简002專欄活得科學萬物之理解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》科學月刊・2016/08/28・3762字・閱讀時間約7分鐘・SR值556・八年級＋追蹤相關標籤：世紀難題代數幾何懷爾斯數學費馬最後定理阿貝爾獎熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症快篩時間《科學生》科普素養閱讀一篇不到3元!!年訂輸入summer1000，現折1000元作者｜李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯（AndrewWiles）獲得，推薦文中指出，為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明，對數論的發展開啟一個新的世代，獎項已於今（2016）年5月24日在挪威首都奧斯陸頒發。

懷爾斯。

圖／wiki英年早逝的天才數學家阿貝爾阿貝爾（NielsHenrikAbel，1802~1829）是挪威歷史上一位非常著名的數學家，他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。

19歲時，他解決了困惑數學界200年的老問題：一般5次方程式根的公式解是不存在的，如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。

另外他在超越函數上的研究，對橢圓函數理論起了革命性的影響。

阿貝爾生前非常貧困，18歲時就肩負起照顧家中6個弟妹的重責，後來不幸罹患肺結核，因為無法得到良好的調養，很可惜在1829年4月6日以26歲的年紀辭世，實在是英年早逝，死後兩天，數學家克雷勒（AugustLeopoldCrelle）攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書，但已經來不及了。

後來數學界為了紀念他，特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群（abeliangroup）」，以他為名的專有名詞已經被普通化了，是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭，這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾，但這個獎項的成立一直要等到西元2002年阿貝爾200歲誕辰方才實現。

2002年阿貝爾獎開始頒發，而第一屆的得主便是法國數學家，同時是數學界大老的謝爾（Jean-PierreSerre）。

去年2015年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許，但去年5月19日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難，曾造成新聞界一陣報導。

觀察阿貝爾獎的歷屆得主，都是當代數學的翹楚，而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老，懷爾斯雖屬壯年，但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題，名氣實在太大了，因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授2016年的獎給他。

有人說這是遲來的獎項，因為自從20幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後，已經得獎無數，幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括，其中包括著名的沃爾夫數學獎（1995年）、沃爾夫斯克爾獎（1997年）以及邵逸夫獎（2005年）等，今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。

值得一提的是，當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過40，無緣獲得數學界的費爾茲獎章（FieldsMedal）。

 費馬最後定理「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目，並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式：xn+yn=zn的正整數解。

當n=2時，讓我們想到熟知的畢氏定理（又稱勾股弦定理），此處 z代表一個直角三角形的斜邊長，x與 y則為此三角形之兩股的長，也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。

這個方程式當然有許多正整數解，例如：x=3，y=4，z=5；x=6，y=8，z=10；x=5，y=12，z=13⋯⋯等等。

費馬聲稱當 n≥3為正整數時，就不存在非零的整數解。

費馬最後定理中n=2時的a2+b2=c2 也就是一般所熟知的畢氏定理。

圖／wiki數學業餘王子─費馬費馬（PierredeFermat，1601~1665）是一位留著長髮，穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。

他是17世紀最卓越的數學家之一，在許多數學領域都有極大的貢獻，例如：他在笛卡兒之前發明解析幾何，也在微積分的發展有所建樹，他與巴斯卡被公認是機率論的先驅，然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。

他的本行是專業的律師，數學只是他的愛好，而他所作的數學作品都是第一等的工作，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子」的美譽。

在1637年的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖（Diophantus）的數論書《算術學》（Arithmetica）時，突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理：當 n≥3為正整數時，沒有非零的整數解。

費馬。

當時費馬並沒有說明原因，不過他留下這一段話：「我已經發現一個非常美妙的證明，只是書頁的空白處太小無法寫下來。

」，始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題，300多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功，這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。

19世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及300法郎給任何解決此一難題之人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。

德國的一位工業家沃爾夫斯克爾（PaulWolfskehl，1856~1906）對「費馬最後定理」情有獨鍾，他死後，根據其遺囑遺贈10萬馬克（約合5000萬新臺幣），頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

在戴奧弗多斯（Diophantus）的《算數》（Arithmetica）1680年的版本中，出現了費馬最後定理。

這個獎在1908年設立，有效期間為100年，懷爾斯在1997年領到這個獎時，獎金只有約150萬新臺幣，原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條，此筆獎額已大幅貶值了。

當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時，確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題，而社會上也掀起了一股瘋「FLT（Fermat’sLasttheorem）熱」。

20世紀電腦發展以後，許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n很大時是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時「費馬最後定理」是正確的，286243-1是一個天文數字，大約有25960位數。

雖然如此，數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。

不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明，其實他是利用20世紀過去30年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯1993年的6月21~23日，懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果，這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾，懷爾斯證出費馬最後定理的消息在1993年的6月24日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。

一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞，可謂空前絕後，原因正如前面所言，這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題，並不需具備很強的數學專業知識。

其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣，敘述都很淺顯易懂，內容也很吸引人去思考，可是證明起來都很難。

懷爾斯在1993年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後，卻發現了極大的瑕疵，後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救，終於在1994年9月修正成功，並且在1995年將修正後的論文發表在《數學年刊》（AnnalsofMathematics）上。

偉大的集體成就「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力，最早在1950年代，日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，即二元三次方程式y2=x3+ax2+bx+c定義的圖形，其中 a、b、c為有理數，它不是橢圓，而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。

後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大，提出谷山–志村猜想：每一個橢圓曲線都具有一種模形式（modularitypattern），這個名詞與高等數學複變函數論有關，在此就不擬加以解釋。

當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯，直到1980年代，德國數學家佛列（GerhardFrey）才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。

若對奇質數p而言，ap+bp+cp 有異於零的整數解，則佛列建議考慮橢圓曲線y2=x(x+ap)(x-bp)，此曲線後來被稱為佛列曲線，因為他覺得此橢圓曲線的判別式a2pb2p(ap+bp)2=(abc)2p 呈現出一點不太尋常，因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式，所以只要能證明谷山–志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良，並且在1986年由數學家里貝特（KenRibet）證明從ap+bp=cp所得的佛列曲線違反模形式。

根據里貝特的這個啟發，懷爾斯就全力去從事谷山志村猜想的證明，至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。

最後他證明了任何半穩定（semistable）橢圓曲線都具有模形式，而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線，因此證明ap+bp=cp之非零整數解是不存在，從而證明了「費馬最後定理」。

這裡要提一點，「費馬最後定理」是說對任何大於2的整數 n而言，an+bn=cn沒有非零的整數解，其實就是要證明對 n=4及任意奇質數（3、5、7⋯）均成立即可，因為對任何大於2的整數 n，n必有4或奇質數的因數，而當 n=4時，費馬曾經給予證明（用數論的技巧就可以證出），因此只需考慮而 p為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決，雖然懷爾斯完成了封頂之作，但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣；自古以來，很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始，激發數學家的興趣，為了尋求問題的解決，不斷努力發展新的數學技巧，也豐富了數學的內涵，而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果，我們可以說：數學演進就是團隊合作的結晶。

  〈本文選自《科學月刊》2016年7月號〉延伸閱讀：數海英雌的孤單與堅強—中研院院士張聖容專訪數學的諾貝爾獎什麼？！你還不知道《科學月刊》，我們46歲囉！入不惑之年還是可以當個科青發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論科學月刊229篇文章・ 1987位粉絲＋追蹤非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年，自創刊以來始終致力於科學普及工作；我們相信，提供一份正確而完整的科學知識，就是回饋給讀者最好的品質保證。

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寶玉在瀟湘館前來回踱步，一陣涼風吹過，寶玉拉緊了領口，想想，黛玉身體不好，要是在外面著涼了，那他真是罪過了。

忽然，一個可能的地點從寶玉腦海裡閃過——黛玉葬桃花之處。

寶玉來到花塚附近，果然沒錯，遠遠便聽到女子的啜泣。

走近一瞧，除了黛玉在那兒哭外，不知道為何三妹探春也在，陪在黛玉身旁安慰她。

探春一抬頭看見寶玉，再看見他的手足無措的神情，立刻追問：「寶哥哥，你怎麼又把黛玉姐姐弄哭，還不快來安慰她。

」「這回不甘妳寶哥哥的事，是我在窗邊聽到他向襲人分析賭博，聽到最後發現，連賭博這樁事，也講究家世，有錢的人才會贏。

我想起老家的境遇，淪落到寄人籬下，不禁悲從中來。

」探春聽她這樣說，也不知道從何安慰起，畢竟她正是黛玉口中寄人籬下的屋主，黛玉心思七拐八彎，可別一個不小心，讓她覺得自己話中帶刺。

探春對寶玉使了使眼色，寶玉走過來，坐在黛玉旁邊，拿出他方才想好的台詞：「表妹，妳是我們家的一份子，怎麼算寄人籬下呢。

再說，方才我跟襲人分析的數學，其實不全然是這樣的，我有些方法還沒跟她講，今個兒我告訴妳，包管妳以後不管跟誰賭博，都會贏錢。

」黛玉擦了擦眼淚，看見寶玉似笑非笑的表情，一臉期待黛玉追問的樣子。

Photocredit:紅樓夢百科「寶哥哥，你就快說啊，這麼厲害的方法我也想聽聽。

」「探春可能不適合，妳比較喜歡刺激，比起保證會贏錢，我這方法不能讓人贏大錢。

不過我可以告訴妳一個別的方法，讓妳平常可能會輸小錢，但一贏，保證贏大錢。

」「好啊好啊，小輸小贏的確不痛不癢，既然都花時間了，當然要贏個大的回來，快告訴我吧。

」寶玉繞到兩人面前，取出賭具，他說：「我做莊，你們倆分別跟我對賭，讓妳們看看。

我給妳們的妙計很簡單，黛玉每次下注，如果前一把輸，這一把就加碼，如果前一把贏，這把維持不變。

探春剛好相反，如果前一把輸，這一把下注維持不變，如果前一把贏。

這一把就加碼。

」「這樣就能像寶哥哥說的那樣，黛玉姐姐保證贏錢，我則有可能輸錢，但贏錢就是大贏？賭博不都是機率，有輸有贏，平均起來沒輸沒贏嗎？」受到寶玉影響，探春對數學也稍有理解。

寶玉看見黛玉手伸進衣服裡找東西找半天，她還沒發現把錢遺失在他的怡紅院門外，寶玉裝傻地說：「沒關係，不然我先解釋給妳們聽，你們評評看合不合理。

」寶玉繼續解釋：「舉個例子來說，假設我們連續賭四場，每一場輸贏機率各半，四場下來，有輸有贏，共有16種可能。

剛才寶姐姐跟我賭時，每一注的賭注都固定。

整理一下可以發現，有6種可能最後沒輸沒贏，各有4種可能會贏2兩銀子或輸2兩銀子。

贏4兩銀子跟輸4兩銀子的次數就是全輸或全贏，各都1種可能。

輸錢跟贏錢的比例，剛好對稱。

」「這該怎麼算出來？」探春發問，寶玉拿起一片銳利的磚瓦，在涼亭的地板上畫出一幅圖：Photocredit:超展開數學教室「這得靠二項式定理來分析……嗯，有些複雜，我們改用楊輝三角形好了。

」寶玉忍不住賣弄了一下專有名詞，奈何探春跟黛玉完全沒注意到。

討了個沒趣，寶玉只好開始用三角形的方式，依序一行行寫下數字：Photocredit:超展開數學教室「賭四把，就對應到第四層的1、4、6、4、1，即是輸4兩銀子、輸2兩銀子、沒輸沒贏、贏2兩銀子、贏4兩銀子的各別次數。

但要是表妹照著我建議的方法『輸錢就加碼』。

想像一下，就算前三盤皆輸，虧了1+2+4=7兩銀子，但只要下注8兩銀子的第四盤贏了，輸多贏少，還是翻盤。

以剛才的方法整理起來，16種可能裡只有4種可能會輸錢，例如連輸四場，或是贏一場後連輸三場。

剩下的12種可能都會贏錢，只是贏得不多。

」黛玉低頭思考，寶玉轉頭對探春說：「我推薦探春的方法剛好相反。

就算連贏三盤，賺了7兩銀子，只要第四盤一輸，就會倒輸1兩銀子。

但反過來說，假如能一直連贏下去，最高可以一口氣贏15兩銀子。

」探春發問：「可是寶哥哥，你先前給我看的洋人數學書提到，賭博是機率事件，最後的結果會趨近期望值，不管怎麼賭，應該都要相同啊。

為什麼你可以靠改變策略，得到不同的結果呢？」「因為期望值，還不足以完整描述整個隨機事件。

同樣的期望值，同樣的可能狀況組合，有可能會對應到完全不同的機率。

方才我建議你們的，無法改變期望值，但可以改變各種狀況的機率，達成『容易小贏，但有機會大輸』，跟『容易小輸，但有機會大贏』的結果。

」沒說話的黛玉這時忽然嗔責寶玉：「原來如此，寶哥哥你好狡猾，我照你的方法下注，雖然不容易輸錢，但一輸，有可能會輸到15兩銀子，就算機率小，但輸這麼大一筆數目，我才不跟你玩呢。

」寶玉連忙解釋：「不不，表妹我們舉的例子是以賭四盤為例。

實際操作時，要是你真的連輸四盤，沒關係，可以繼續賭下去，下一盤加碼到16兩銀子，要是一贏，不就又贏回來了嗎？這方法好就好在，只要沒有賭注上限，不論怎麼連輸最終都會有贏錢的那刻。

贏的金額，剛好是第一次下注的數目。

妳不信的話，我們明天一早就去找大家來玩玩看。

」「可是，要是一直輸下去，不但錢會輸少，賭本還得增加，我怕我沒那麼多籌碼可以賭。

」「沒關係，到時候我借妳就好了。

」寶玉拍胸脯保證。

聽了這話，雖然黛玉心想「這麼說來，最後還不是在比誰的資本雄厚嗎」，但看見寶玉講了這麼一大番道理，只為了討她開心，心頭一喜，也不計較了。

本文出自《超展開數學教室》，臉譜出版社出版。

Photocredit:王弘力〈清走月亮〉發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論賴以威32篇文章・ 8位粉絲＋追蹤數學作家、譯者，作品散見於聯合報、未來少年、國語日報，與各家網路媒體。

師大附中，台大電機畢業。

我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「Ifpeopledonotbelievethatmathematicsissimple,itisonlybecausetheydonotrealizehowcomplicatedlifeis」。

為了讓各位跟我一樣相信這句話，我們得先從數學有多簡單來說起，聊聊數學，也用數學說故事。

歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的：數感實驗室。

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上面的文字不容易理解的話，簡單來說就是：假設n是大於2的正整數，則方程式x^n+y^n=z^n，沒有正整數解。

重點在，費馬在書緣旁邊寫下：「我已經發現了最棒的證明，但是這本書的邊緣沒有足夠的空間可以容納這串證明，故略之。

」然後，你知道的，這是一個略帶隱義「文人」思維，也就是後代數學家不會去質疑這個謬思如何產生，而會認為「他既然做得到，我也應該可以證明出來」。

三個世紀後，由英國數學家安德魯懷爾斯（AndrewJohnWiles）和其學生理查泰勒（RichardTaylor）於1993首次證明，並於1995年完善，被稱為「費馬大定理」。

而他們的證明中，其中一個關鍵點是：他們認為三百年前的費馬並不像他自己所說的已經找到最棒的證明；相反的，費馬應該沒有解出來。

故事還沒完，初步解開費馬猜想的1993年，身兼銀行家和數學家（財產達84億美元的高富帥）的安德魯比爾（AndrewBeal）也根據費馬大定理，延伸提出了自己的「猜想」：A^x+B^y=C^z，當A、B、C、x、y和z都是正整數時，且x、y、z>2，那A、B、C將有一個共同的質因數。

迄今來尚未解開。

故他宣布，在他提出猜想二十年後的今天，若有人能證明，他將提供一百萬美元作為獎勵報酬。

資料來源:AndrewBealOffers$1MillionToSolveHisMathProblem,BealConjectureRemainsUnsolvedSince1980s發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論RainReader9篇文章・ 0位粉絲＋追蹤從小與電玩、動漫結下了不解之緣。

曾任教過國中、高中、五專與多所大學，試圖以當代娛樂與流行文化的角度來融入歷史教學，傳達多元化的知識系譜。

在學術領域方面，主要研究近代知識分子的思想意識與文化理論；除研究外，也為網路與報章媒體撰寫專欄文章、遊戲攻略。

曾任創能網路資訊公司副執行長與GaMavi電玩資訊站長、策展台灣首次非商業電玩藝術展台北數位藝術節，現任教於東海大學與旭傳媒科技。

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那麼三次方以上呢？也可以找到對應的整數解嗎？1637年，法國數學家費馬斷定地說沒有！他讀到丟番圖的《算術》一書中畢氏定理的論證時，在附近空白處寫下了著名的「費馬最後定理」：「另一方面，一個數字的立方不可能表示成兩個立方數的和，一個四次方數也不能表示成兩個四次方數的和；或者更概括性地說，除了平方之外，一個n次方的數也不能表示成兩個n次方數的和（xn +yn =zn）。

我已為這個命題找到了一個非常美妙的證明，然而這裡的空間不足以讓我寫下這個證明。

」自此包括大數學家歐拉在內的無數數學家前仆後繼，試圖證明此定理，但直到1839年，僅證明n=3、4、5、7時成立（n為這些數的倍數時也就當然成立），此後即再無進展（那些用電腦證明的同學不用舉手）。

於是這個定理的證明就只有費馬與上帝知道──或者他以為他知道。

沒有人料到這沉寂會在毫無預警的情況下被打破。

1993年6月，英國數學家懷爾斯(AndrewJ.Wiles)在劍橋大學辦了三場演講，事先沒有人知道他要談費馬最後定理，雖然他的題目跟費馬最後定理有些關係，但畢竟之前從未聽聞他在做這方面的研究，大家自然不會作此聯想。

直到第二天，參加演講的聽眾才發覺懷爾斯是在談如何攻克費馬最後定理這座高山的登山路線。

於是耳語立刻在數學界傳了開來，最後一場演講擠滿了聽眾，內向害羞的懷爾斯果然當場公佈了他完成的證明，令全場為之嘩然。

這消息也立刻傳遍全世界，第二天各國的頭版都刊登了這則數學史上的重大事件。

人們才知道懷爾斯已經默默地在這問題上耕耘了七年，除了妻子與一位同事，沒有告訴任何人。

然而，懷爾斯的喜悅沒有持續太久；幾個月後他的證明被發現有致命的錯誤，也就是說證明無效！懷爾斯試圖修補這個錯誤，經過一年多的嘗試，就在他打算放棄之際，他改採曾被他丟在一旁的方法，終於取得突破，而於1994年9月完成證明，並於次年發表。

這一次，經過同儕審查完全無誤，高懸三百多年的費馬最後定理終獲證明。

懷爾斯也從此在歷史留名。

 本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論張瑞棋423篇文章・ 541位粉絲＋追蹤1987年清華大學工業工程系畢業，1992年取得美國西北大學工業工程碩士。

浮沉科技業近二十載後，退休賦閒在家，當了中年大叔才開始寫作，成為泛科學專欄作者。

著有《科學史上的今天》一書；個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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