特定指數的費馬大定理的證明- 維基百科

費馬大定理的完整證明是一個艱深的過程，但是，對於某些特定的指數n，其證明並不算十分複雜，因此 ... 1 n=4. 1.1 預備知識; 1.2 證明過程. 1.2.1 1; 1.2.2 2; 1.2.3 3 ... 特定指數的費馬大定理的證明 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。

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費馬大定理的完整證明是一個艱深的過程，但是，對於某些特定的指數n，其證明並不算十分複雜，因此在此展示費馬大定理的特例證明。

目次 1n=4 1.1預備知識 1.2證明過程 1.2.11 1.2.22 1.2.33 n=4[編輯] 證明 x 4 + y 4 = z 4 {\displaystylex^{4}+y^{4}=z^{4}} 沒有全不為0的整數解。

預備知識[編輯] 假設x,y,z是滿足 x 2 + y 2 = z 2 {\displaystylex^{2}+y^{2}=z^{2}} 的一組互質的整數解，那麼存在互質的整數a,b，使得 x 2 = a 2 − b 2 , y 2 = 2 a b , z = a 2 + b 2 {\displaystylex^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}} 。

證明過程[編輯] 1[編輯] 假設(x,y,z)為方程 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystylex^{4}+y^{4}=z^{2}} 一個解並且x,y互質，y為偶數，則 x 2 = a 2 − b 2 , y 2 = 2 a b , z = a 2 + b 2 {\displaystylex^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}} ，其中 a > b > 0 {\displaystylea>b>0} ，a、b互質，a、b的奇偶性相反。

由 x 2 = a 2 − b 2 {\displaystylex^{2}=a^{2}-b^{2}} 得a必定是奇數，b必定是偶數。

2[編輯] 另外，亦得 x 2 + b 2 = a 2 {\displaystylex^{2}+b^{2}=a^{2}} ，再從此得 x = c 2 − d 2 , b = 2 c d , a = c 2 + d 2 {\displaystylex=c^{2}-d^{2},b=2cd,a=c^{2}+d^{2}} ，其中 c > d > 0 {\displaystylec>d>0} ，c、d互質，c、d的奇偶性相反。

3[編輯] 最後有 y 2 = 2 a b = 4 c d ( c 2 + d 2 ) {\displaystyley^{2}=2ab=4cd(c^{2}+d^{2})} ，由此得c、d和 c 2 + d 2 {\displaystylec^{2}+d^{2}} 為平方數。

於是可設 c = e 2 , d = f 2 , c 2 + d 2 = g 2 {\displaystylec=e^{2},d=f^{2},c^{2}+d^{2}=g^{2}} ,即 e 4 + f 4 = g 2 {\displaystylee^{4}+f^{4}=g^{2}} 。

換句話說，(e,f,g)為方程 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystylex^{4}+y^{4}=z^{2}} 的另外一個解。

但是， z = a 2 + b 2 = ( c 2 + d 2 ) 2 + 4 c 2 d 2 > g 4 > g > 0 {\displaystylez=a^{2}+b^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}+4c^{2}d^{2}>g^{4}>g>0} 。

就是說如果我們從一個z值出發，必定可以找到一個更小的數值g,使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystylex^{4}+y^{4}=z^{2}} 。

如此類推，我們可以找到一個比g更小的數值，同時滿足上式。

但是，這是不可能的！因為z為一有限值，這個數值不能無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。

所以，方程 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystylex^{4}+y^{4}=z^{2}} 沒有正整數解。

取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=特定指数的费马大定理的证明&oldid=53796087」 分類：​數論數學定理隱藏分類：​自2014年12月需要專業人士關注的頁面自2014年11月導言部分過短的條目含有多個問題的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةCatalàEnglishFrançais 編輯連結