从费马大定理谈起（五）：n=4 - 科学空间

不过，它们已经足够用来完成费马大定理在n=4时的证明了。

我们很快会看到高斯整数为n=4所带来的简洁的证明，而这让我们坚信，这一道路可以走得更远。

不定方程x4+y4=z2 ... SEARCH MENU 打赏公式天象链接时光博览归档 CATEGORIES 千奇百怪天文探索数学研究物理化学信息时代生物自然图片摄影问题百科生活/情感资源共享 NEWPOSTS 生成扩散模型漫谈（七）：最优扩散方... 生成扩散模型漫谈（六）：一般框架之... 生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之... 生成扩散模型漫谈（四）：DDIM... 生成扩散模型漫谈（三）：DDPM... 不成功的尝试：将多标签交叉熵推广到... 生成扩散模型漫谈（二）：DDPM... “维度灾难”之Hubness现象浅析 LadderSide-Tunin... 生成扩散模型漫谈（一）：DDPM... COMMENTS gekan:苏老师你好，这篇文章说起自回归，我一直觉得DDPM实际上是一个... 苏剑林:当$\Deltat\to0$时，$(2),(3)$转化为$... jun:苏老师，您好。

请问\detat趋于0的时候，公式（8）是怎... shomy:收到，多谢苏神！我先学习一下代码的实现，万分感谢！ 苏剑林:每个任务单独一个脚本，原来用什么loss就用什么loss（比如... MF:同问shomy的问题，感谢 shomy:苏神你好，问下多任务预训练的一些细节能否多讲解一下。

比如一些... wzm:我以为是先按真实的0,1label排，再按照预测结果排，然后... 苏剑林:人为调参 苏剑林:恭喜 USERLOGIN 登录 科学空间|ScientificSpaces 登录 打赏公式天象链接时光博览归档 渴望成为一个小飞侠 欢迎订阅 个性邮箱 天象信息 观测ISS LaTeX 关于博主 欢迎访问“科学空间”，这里将与您共同探讨自然科学，回味人生百态；也期待大家的分享～ 千奇百怪Everything天文探索Astronomy数学研究Mathematics物理化学Phy-chem信息时代Big-Data生物自然Biology图片摄影Photograph问题百科Questions生活/情感Life-Feeling资源共享Resources 千奇百怪天文探索数学研究物理化学信息时代生物自然图片摄影问题百科生活/情感资源共享 首页 数学研究从费马大定理谈起（五）：n=4 19 Aug 从费马大定理谈起（五）：n=4 By 苏剑林| 2014-08-19| 57383位读者 | : 是时候了！前面用好几篇文章为费马大定理的证明铺设了道路，当然，相当于完整的费马大定理证明来说，这几篇文章只不过是沧海一粟而已。

不过，它们已经足够用来完成费马大定理在n=4时的证明了。

我们很快会看到高斯整数为n=4所带来的简洁的证明，而这让我们坚信，这一道路可以走得更远。

不定方程$x^4+y^4=z^2$在$\mathbb{Z}[i]$中没有全不为0的解。

读者可以看到，我们考虑的是$x^4+y^4=z^2$而不是$x^4+y^4=z^4$，前者是后者的加强，但是，并不是为了证明一个更广泛的命题才加强的，而是我们的证明对于$x^4+y^4=z^4$根本就不适用！也就是说，根据本文的方法，我们可以证明$x^4+y^4=z^2$无解，但却不能“只证明”$x^4+y^4=z^4$无解。

这确实是一个很奇妙的现象，有些命题，要加强了之后才容易证明，就像用数学归纳法证明一些不等式，如果不加强，归纳法就失效了。

我们所用到的工具很简单，就是在第三篇文章中提高的$\mathbb{Z}[i]$内的模“模1+i分析”。

为了方便，下面记$\xi=1+i$。

StepOne#第一步，我们来证明如果$(x,y,z)$是$x^4+y^4=z^2$的一组高斯整数解，那么$\xi|xyz$。

假设$\xi\nmidxyz$，那么$\xi\nmidx,\xi\nmidy,\xi\nmidz$，那么 $$\begin{aligned}x^4&\equiv1(\bmod\,8)\\ y^4&\equiv1(\bmod\,8)\\ z^2&\equiv\pm1(\bmod\,4) \end{aligned}$$ 因此$x^4+y^4-z^2\equiv0(\bmod\,4)$得到$1+1-\pm1\equiv0(\bmod\,4)$，矛盾，因此$\xi|xyz$。

StepTwo#第二步，假设$(x,y,z)$是$x^4+y^4=z^2$的一组全不为零的、两两互质的高斯整数解，那么$\xi$只能整除$x,y,z$中的其中一个。

但是，整除$z$是不可能的，因为如果整除$z$，那么就不整除$x,y$，那么就有（$\xi|z\Rightarrow\xi^4|z^4$） $$\begin{aligned}x^4&\equiv1(\bmod\,8)\\ y^4&\equiv1(\bmod\,8)\\ z^2&\equiv0(\bmod\,\xi^2) \end{aligned}$$ 注意$\xi^2=2i,\xi^4=-4,\xi^6=-8i$。

如果$\xi^2|z$，那么$\xi^4|z^2$，因此，上面三式相当于说$x^4+y^4-z^2\equiv1+1-0\equiv2(\bmod\,\xi^4)$，也就是$4|2$，矛盾；如果$\xi\nmid\left(\frac{z}{\xi}\right)$，那么$\left(\frac{z}{\xi}\right)^2\equiv\pm1(\bmod\,4)$，也就是$z^2\equiv\pm\xi^2(\bmod\,4\xi^2)$，等价于$z^2\equiv\pm\xi^2(\bmod\,8)$，因此$x^4+y^4-z^2\equiv1+1-\pm\xi^2\equiv2(1\mpi)(\bmod\,\xi^6)$，也就是$\xi^6|\xi^3$，矛盾。

所以$\xi$整除$x$或$y$，不失一般性，设$\xi|x$。

这样一来，必然有$z^2\equiv1(\bmod\,4)$，否则导致矛盾.StepThree#第三步，列出我们得到的结果 $$\begin{aligned}x^4&\equiv0(\bmod\,\xi^4)\\ y^4&\equiv1(\bmod\,8)\\ z^2&\equiv1(\bmod\,4) \end{aligned}$$StepFour#第四步，是我们的核心步骤，假设有解，那么存在两两互质的解$(x,y,z),\\xi|x$，而且在所有解之中，挑出$N(x)$最小的那组解。

在$\mathbb{Z}[i]$内，我们可以分解 $$x^4=(z-y^2)(z+y^2)$$ 设$u=z+y^2,v=z-y^2$，那么 $$u+v=2z=-i\xi^2z,\u-v=2y^2=-i\xi^2y^2$$ $u,v$的公约数必然也是$u+v,u-v$的公约数，$(u+v,u-v)=(-i\xi^2z,-i\xi^2y^2)=\xi^2$，因此$u,v$最多有公约数$\xi^2$，而左边$x^4$至少有约数$\xi^4$，因此$u,v$之一至少有约数$\xi^2$，如此一来，$u,v$的最大公约数就是$\xi^2$。

记$x=\xi\eta,u=\xi^2\mu,v=\xi^2\nu$，$\mu,\nu$互质，这样一来 $$\eta^4=\mu\nu$$ 由于$\mu,\nu$互质，所以$\mu,\nu$在相差一个单位数的情况下，必然为一个四次方数，也就是说它们都是四次方数的伴随。

用$\varepsilon_1,\varepsilon_2$表示单位数，设$\mu=\varepsilon_1\kappa^4,\nu=\varepsilon_2\iota^4$，即 $$\eta^4=(\varepsilon_1\kappa^4)(\varepsilon_2\iota^4)=(\varepsilon_1\varepsilon_2)(\kappa\iota)^4$$ 于是$\varepsilon_1\varepsilon_2$也是一个四次方数，但是单位数中的四次方数只有1，因此$\varepsilon_1\varepsilon_2=1$。

然后由$u-v=2y^2=-i\xi^2y^2$得到 $$-iy^2=\varepsilon_1\kappa^4-\varepsilon_2\iota^4$$StepFive#第五步，对$\varepsilon_1,\varepsilon_2$进行枚举。

5.1、假如$\varepsilon_1=i,\varepsilon_2=-i$，那么 $$-iy^2=i\kappa^4+i\iota^4$$ 也就是 $$(iy)^2=\kappa^4+\iota^4$$ 这表明$(\kappa,\iota,iy)$也是一组解，然而$N(\kappa),N(\iota)$均小于$N(x)$（因为$\varepsilon_1\varepsilon_2\kappa^4\iota^4\xi^4=x^4$），$\kappa,\iota$之中必有一个有约数$\xi$，这跟$N(x)$最小矛盾。

5.2、假如$\varepsilon_1=-i,\varepsilon_2=i$，那么 $$-iy^2=-i\kappa^4-i\iota^4$$ 也就是 $$y^2=\kappa^4+\iota^4$$ 这表明$(\kappa,\iota,y)$也是一组解，然而$N(\kappa),N(\iota)$均小于$N(x)$（因为$\varepsilon_1\varepsilon_2\kappa^4\iota^4\xi^4=x^4$），$\kappa,\iota$之中必有一个有约数$\xi$，这跟$N(x)$最小矛盾。

5.3、假如$\varepsilon_1=-1,\varepsilon_2=-1$，那么 $$-iy^2=-\kappa^4+\iota^4$$ 如果$\kappa,\iota$都不是$\xi$的倍数，那么$\kappa^4\equiv\iota^4\equiv1(\bmod\,\xi^4)$，从而$\xi^4|(-\kappa^4+\iota^4)$，得到$\xi|y$，这与$x,y$互质矛盾。

那么$\kappa,\iota$之一是$\xi$的倍数（而且只能有一个），从而$-\kappa^4+\iota^4\equiv\pm1(\bmod\,\xi^4)$。

但是左边$\xi\nmidy$，因此$y^2\equiv\pm1(\bmod\,\xi^4)$，所以$-iy^2\equiv\pmi(\bmod\,\xi^4)$。

左右两边的同余不等，矛盾。

5.4、假如$\varepsilon_1=1,\varepsilon_2=1$，那么 $$-iy^2=\kappa^4-\iota^4$$ 分析跟5.3基本一样，也导出矛盾。

所有情况都被否定了，因此原假设不成立，不存在满足$x^4+y^4=z^2$的全非0高斯整数解。

评述#证明看上去写得很长，但其实很简单。

总的来说，我们只是用到了模$1+i$的分析，这就相当于实数中的奇偶分析了。

如果读者对高斯整数不熟悉，那么这种同余就像云里雾里，摸不着头脑了，但是熟悉了高斯整数的读者，那么一切都是很显然的。

试想，在实整数中，奇偶分析还不容易吗。

如果读者已经阅读过实整数内的n=4的证明，那么不妨对比一下两者，可以发现有类似的地方，但似乎本文的证明还简短一点呢。

（写得长不一定说明复杂，关键是每一步显不显然。

）是什么导致我们在最后一步分了四种情况？单位数！高斯整数中有四个不同的单位数，因此分了四种情况，而在更一般的数环中，可能会有更多的单位数，这也是n较大的时候，证明比较困难的原因。

不过这个困难不是最核心的，核心的困难是唯一分解定理的失效，而这就是后话了。

最后还是多说一下，为什么是$x^4+y^4=z^2$而不是$x^4+y^4=z^4$呢？后者用本文的技巧确实导不出矛盾。

那么，一个很自然的疑问是，有没有单纯证明后者的证明？我不知道，我试了好几天，企图找出仅仅证明后者的过程，但无果。

也许对于合数的$n$，证明起来就有这样的特性吧。

补充(08.20)#可以直接证明$\varepsilonx^4+y^4=z^2,\\xi|x$无解，从而简化证明过程，参考下一篇文章。

将下一篇文章的步骤稍微修改一下即可。

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如果您需要引用本文，请参考： 苏剑林.(Aug.19,2014).《从费马大定理谈起（五）：n=4》[Blogpost].Retrievedfromhttps://spaces.ac.cn/archives/2831 @online{kexuefm-2831,         title={从费马大定理谈起（五）：n=4},         author={苏剑林},         year={2014},         month={Aug},         url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/2831}}, } 分类：数学研究  标签：数论,不定方程,费马大定理 18评论 你也许还对下面的内容感兴趣 结果恒为整数的多项式 在Python中使用GMP（gmpy2） 从费马大定理谈起（十二）：再谈谈切线法 从费马大定理谈起（十一）：有理点与切割线法 从费马大定理谈起（十）：x^3+y^3=z^3+w^3 从费马大定理谈起（九）：n=3 从费马大定理谈起（八）：艾森斯坦整数 从费马大定理谈起（七）：费马平方和定理 从费马大定理谈起（六）：n=4（2） 从费马大定理谈起（四）：唯一分解整环 发表你的看法 先忧后乐 July16th,2015 明天接着看，在此做个标记(龇牙) 回复评论 先忧后乐范 August6th,2015 stepfive5.1那里这表明(κ,ι,iy)也是一组解，然而N(κ),N(ι)均小于N(x)（因为ε1ε2κ4ι4ξ4=x4），κ,ι之中必有一个有约数ξ，这跟N(x)最小矛盾。

这句话，看了老半天，没看懂。

求解释那个导出矛盾的地方 回复评论 苏剑林发表于 August13th,2015 请您仔细看一下假设哈。

回复评论 先忧后乐范发表于 August16th,2015 学长并没有说x,y,z是模最小的一组互素的高斯整数解吧 回复评论 苏剑林发表于 August20th,2015 StepFour 第四步，是我们的核心步骤，假设有解，那么存在两两互质的解(x,y,z),ξ|x，而且在所有解之中，挑出N(x)最小的那组解。

回复评论 Lixiaobo December19th,2015 饶有兴致地看到这里，很喜欢作者普及性的介绍，同时读了谢国芳的有关文章，知道这段证明是高斯弟子戴德金的杰作，比起欧拉用实数的证明来简单很多，历史上也差了一百多年。

您是否有欧拉证法的简介或参或相关的链接，好认真体会和比较一下，多谢！ 回复评论 苏剑林发表于 December20th,2015 你想要n=4还是n=3的证明？n=4时，可以参考 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/4/44/4_44_1003.htm n=3时，我没找到什么网络资源，但是在一般的初等数论书籍中都会讲到。

回复评论 Lixiaobo December21st,2015 多谢！在北大潘成彪的初等数论中看到有关段落，前些天刚查找过余数一节。

另外读到谢国芳从勾股定理到费马大定理一文，从勾股数公式的角度讲了复数理论的优势。

看来高观点解初等问题有优势，复数理论是个好例子。

克莱因写过一部专著，高观点下的初等数学。

从费马整数发展起来的格点表示和共形映射，是见到的几乎所有介绍模形式文章的起点。

模形式成为解决费马最后定理工具，可能是又一个高观点解决问题的例子，还在继续跟进。

很多科普文章只讲故事，讲不清理论，而数学普及文章，只讲理论不讲数学发展历史，而对认真的读者来说，要看很多文章才能有全面的了解。

只有了解每个数学问题发展的动机和过程，才能够满足全部好奇心，得到方法论方面的启发。

怀着好奇心，继续阅读下文，再次感谢！ 回复评论 苏剑林发表于 December21st,2015 “从费马整数发展起来的格点表示和共形映射”这让我想起了希尔伯特的科普著作《几何直观》，里边有类似的内容（虽然是科普，但是希尔伯特的科普可不会简单，当然里边的数学讲得还是比较清晰的）。

回复评论 Lixiaobo December22nd,2015 n=3的证明找到欧拉和高斯的不同证法，分别在〈100个著名初等数学问题〉的第21个问题和紧随着的注释1中,书是1933年前后出的。

您提到的〈直观几何〉上下册网上均能看到，多谢。

另外反馈一个小问题，在安卓系统平板上看（win系统还没试过），科学空间的latex数学公式和文字有重叠现象，非常影响阅读，不知其他读者有无遇到。

回复评论 Lixiaobo发表于 December23rd,2015 发现平板一开始就横看，宽度够，latex就没有问题了。

如果先竖着看，latex的空间不够，和文字重叠，再横过来也没用，因为公式已经被系统解释成图像了，这时只能刷新。

回复评论 苏剑林发表于 December23rd,2015 谢谢反馈，这个问题我早已经知道了，可是一直不知道怎么修复，无奈中~~~先横再竖，也算是一个折衷的解决办法吧^_^ 回复评论 苏剑林发表于 December24th,2015 修改了新的方式，欢迎测试。

回复评论 Lixiaobo发表于 December29th,2015 完全没有问题了，很棒！ 回复评论 贺斌 May1st,2020 5.3中的 “-k^4+l^4≡土1（mod？^6），但是右边” 是否应改为 “-k^4+l^4≡土1（mod？^4），但是左边”（一共两处改动。

另由于我打不出那个字母，只好用“？”代替一一对比原文可明白） 回复评论 苏剑林发表于 May1st,2020 谢谢，改过来了 回复评论 贺斌发表于 May1st,2020 不客气！本人水平有限，意见不一定正确，您改动之前一定要仔细核对一下。

拜读苏神的文章，如沐春风，醍醐灌顶，受益匪浅！ 回复评论 苏剑林发表于 May1st,2020 过奖了，欢迎多交流，我也好久没看这方面了，需要回顾回顾。

回复评论 取消回复 你的大名 电子邮箱 个人网站（选填） 1.可以在评论中使用LaTeX代码，点击“预览效果”可即时查看效果，点击这里可以查看更多内容；2.可以通过点击评论楼层编号来引用该楼层。

内容速览 StepOne StepTwo StepThree StepFour StepFive 评述 补充(08.20) 智能搜索 支持整句搜索！网站自动使用结巴分词进行分词，并结合ngrams排序算法给出合理的搜索结果。

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请问\detat趋于0的时候，公式（8）是怎么得到的呢？ shomy:收到，多谢苏神！我先学习一下代码的实现，万分感谢！ 苏剑林:每个任务单独一个脚本，原来用什么loss就用什么loss（比如分类用交叉熵、回归用mse等），... MF:同问shomy的问题，感谢 shomy:苏神你好，问下多任务预训练的一些细节能否多讲解一下。

比如一些loss的设计，另外苏神选择的是... wzm:我以为是先按真实的0,1label排，再按照预测结果排，然后计算秩次差的平方。

我这样理解是不... 苏剑林:人为调参 苏剑林:恭喜 友情链接 宇宙驿站 数学研发 Seatop Xiaoxia 积分表-网络版 丝路博傲 ph4ntasy饭特稀 数学之家 有趣天文奇观 bsky TwistedW godweiyang AI柠檬 王登科-DK博客 瓦特兰蒂斯 maamx ESON 诗三百 枫之羽 Mathor'sblog 孙云增的博客 coding-zuo 博科园 申请链接 本站采用创作共用版权协议，要求署名、非商业用途和保持一致。

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