42203 費馬最後定理及理想類 - 中央研究院

對費馬最後定理的描述通常始於畢氏定理, 其方程為a2+b2=c2 a 2 + b 2 = c 2 , 亦即, 你問: 兩個整數平方的和是否可以是某個整數的平方? 大多數人都知道, 3 的平方加上4 的 ... 42203費馬最後定理及理想類 數學傳播 傳播數學知識．促進數學教育 切換 首頁 歷年季刊 季刊公告▾ 稿約 訂閱資訊 勘誤 詩歌散文 數播線上 專訪 聯絡我們 Search 費馬最後定理及理想類 KennethA.Ribet,　 2018年6月(166) PDF KennethA.Ribet 演講 數論 費馬最後定理 啟發式方法(heuristic) 代數數論 Pell方程 Jean-PierreSerre AndrewWiles PierreDeligne Bernoulli多項式 Bernoulli數 費馬 質因數的唯一分解性 Diophantus ErnstKummer 類群 類體 JacqueHerbrand 無窮下降法 不規則質數 規則質數 類數 分圓體 GerhardFrey 無標題文件 時間:民國106年8月1日 地點:天文數學館一樓國際會議廳 整理:陳其誠、梁惠禎 KennethAlanRibet教授於1948年出生於美國,目前任教於加州大學柏克萊分校。

他為AndrewWiles對費馬最後定理的證明,完成了關鍵性的前置工作。

很榮幸在NCTS週年慶演講 1 1 影音檔請見https://www.youtube.com/watch?v=NwGX6hGSzxY 。

我在柏克萊的第一批研究生中就有一位來自台灣,他是在座的紀文鎮教授。

很久以前他邀請我來台灣,今天算是我第三或第四次訪問,記得在三年前參加過NCTS的研討會,印象深刻。

請容我先問:在座有多少人是專業數學家?有多少人不是專業數學家?這個演講的前半部本來是講給非專業數學家聽的。

近結尾時,我會談到屬於代數數論的理想類(idealclasses)。

代數數論可說是源自數學家對費馬最後定理的研究,是數學的一門分支。

談費馬最後定理必須提到它長遠的歷史。

它起源於十七世紀,會成為數學的核心問題,是基於各種各樣的原因,其中一些純屬偶然。

而它在數學上所以重要,其中一個原因是它引導出一些重要的理論,這些理論的應用範圍遠遠超過費馬最後定理本身的研究。

1993年6月,年輕的英國數學家AndrewWiles在劍橋大學的數學會議上宣布:他已證明費馬最後定理,350多年來眾人對此問題的探索於焉完滿。

這全然令人驚訝。

從公眾的角度來看,這無疑是數學上最令人興奮的消息;因此,隔天早上,我的名字、當然還有Andrew的名字,都上了紐約時報的頭版。

稍後我會給出定理的實際敘述;它攸關方程式的解,基本上是說任何正整數$a,b$和$c$都不能使某件事成立。

1993年,記者常問我的一個問題是:「能否藉由電腦來驗證這個定理?是否只要檢查了足夠的數據,就能確信它是對的?」 身為專業數學家,我們當然必須向記者及公眾解釋:數學定理通常不能藉由有限的計算來證明。

數論是我的研究主題,其中恰巧有許多表面上看似不怎麼樣複雜的問題,其所牽涉到的數值卻出奇的大。

譬如所謂的Pell方程式:$x^2-cy^2=1$,$c$:常數;費馬就觀察到,若取$c=109$,則方程式 $x^2-cy^2=1$的最小解是$x=158070671986249$,$y=15140424455100$;比起109,$x$很大,$y$的值較$x$稍小,也很大 (譯註:所以你若只檢查比較小的$x$或$y$,會以為此方程式沒有整數解)。

另一個有名的例子是Euler在十八世紀提出的一個猜想:方程式$a^4+b^4+c^4=d^4$沒有正整數解;換句話說,三個整數四次冪的總和永遠不可能是整數的四次冪。

到了60年代及70年代,人們開始懷疑這個猜想可能是錯的,結果哈佛的NoamElkies首先找到反例 $2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$。

後來我們知道,這不是最小的反例,但最小的反例並不比它小很多。

Elkies是用電腦找到反例的,但在他讓筆記本電腦作運算之前,已用紙筆做了很多腦力工作。

對費馬最後定理的描述通常始於畢氏定理,其方程為$a^2+b^2=c^2$,亦即,你問:兩個整數平方的和是否可以是某個整數的平方?大多數人都知道,3 的平方加上4的平方是5的平方,$3^2+4^2=5^2$,而5的平方加上12的平方是13的平方, $5^2+12^2=13^2$。

當然,如果你隨機取兩個數,並將它們平方後相加,通常不會得到整數的平方;譬如:2的平方加上3的平方是$4+9=13$, 這不是整數的平方。

你可能會得到一個完美的平方,但通常並非如此。

畢氏三元組是正整數$a$,$b$和$c$,其中前兩個數的平方總和是第三個數的平方。

所以3,4和5及5,12和13都是畢氏三元組。

如果你嘗試去生成像5,12,13這樣的畢氏三元組,你可能會想到一個簡單的代數等式,利用它確實可以生成任意多的畢氏三元組。

亦即,取正整數$n$及$m$,通常取$m$大於$n$,而後取$m$及$n$的平方的差,此即為$a$,而$b$是它們的乘積的兩倍。

你將這兩個數平方後相加,將得到一個完美的平方,它是$m$及$n$的平方和的平方;也就是說$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$。

若你為$n$和$m$代入正整數,會生成畢氏三元組(譯註:例如代$m=3$,$n=2$,得5,12,13)。

如果我們選取互質且不全為奇數的$m$和$n$,則得到的畢氏三元組$a,b,c$會互質且$a$是奇數,反之,所有互質的且 $a$是奇數的畢氏三元組$a,b,c$都可以這樣生成,此為這個主題的第一個定理,已於500BC被古希臘人證明。

若你考慮的不是平方,會發生什麼事?考慮立方、四次方,或$n$次方時,會發生什麼事?費馬最後定理的方程是 $a^n+b^n=c^n$。

談到這個方程與費馬本人的關聯,據說費馬在閱讀希臘數論家Diophantus的著作時,常常在空白處做頁邊筆記,其中一條寫道: 「$a^n+b^n=c^n$無解,其中$a$,$b$和$c$是正整數,$n\gt2$」。

我們知道的是:費馬的兒子Samuel在他父親過世後,得到他父親的書,發現他父親寫的頁邊筆記,並出版附有他父親筆記的新版 Diophantus著作。

我們現在看得到的是Samuel的版本,而有他父親實際手寫註記的Diophantus的原書丟失了,我們沒有那個原本,只有二手來源。

之後發生的是,頁邊筆記的其他內容,都陸續由不同的數學家完成證明,唯獨「$a^n+b^n=c^n$($n\gt2$) 無非平凡解解」的敘述無法證明。

費馬聲稱的敘述,很可能是費馬之後會想要修改的(如果他找到了這本書,並回頭看頁邊筆記),因為他後來又寫出了$n=4$特殊情況的完整證明。

如果他自認能解決一般次方,就不會回到四次方,提出那種費力的證明。

作為一個成熟的數學家,他後來回頭處理特殊情況的事實,通常被認為是一個非常有力的證據,顯示他意識到:自己寫下頁邊筆記時野心過大或者可能當時醉了。

事實上,費馬解決了比「四次方的總和是四次方」更為一般性的問題。

他證明了兩個4次方的和不可能是一個完美的平方,也就是說方程式$a^4+b^4=c^2$無正整數解,這是一個更強的敘述。

他的證明實際上使用的,是現今所謂的數學歸納法的變形。

他的想法是:如果你有一個$a^4+b^4=c^2$的正整數解,你可以對$(a,b,c)$做一些我稍後將解說的分析,得到一個更小的解 $(a',b',c')$。

2 2 有些判斷大小的方法，譬如可比較$a+b$及$a'+b'$的大小。

費馬繼續重複這個過程:若有一個解,你可以得到更小的解,而後又有更小的解,接續不絕。

但因為正整數不能小於1,你無法生成無限序列的正整數,其中每個整數都小於先前的整數;你不能無限下降。

因此,存在正整數解的假設是錯誤的。

在邏輯上這與我們通常使用的數學歸納法一樣:你可先證明沒有小於某數值的解,再以此證明沒有稍大的解,再以此證明沒有更稍大的解,一步一步的證下去,來證明解不存在。

這種方法因此有了一個浪漫的名稱:「無限下降的證明(proofbyinfinitedescent)」。

費馬如何由一組解$(a,b,c)$得出另一組更小的解$(a',b',c')$呢?他考慮因式分解:$a^4=c^2-b^4$,其中 $c^2-b^4=(c-b^2)(c+b^2)$。

等號右邊的兩個因子都是正數,它們的乘積是完美的四次方。

如果你相信整數系具有質因數分解的唯一性,而你有互質的兩個整數, 它們的乘積是某整數的4次方,則每個因子本身必須也是整數的4次方,於是你可以寫下一些輔助方程,並做一點代數(我不深入演算),從而得更小的解 $(a',b',c')$,以實現無限下降。

上面說的其實尚有些漏洞。

例如,一開始$a$和$b$的公因數如果是$d$的話,則很容易看出$d^2$整除$c$;如果$d\gt1$,則$c-b^2$和$c+b^2$兩數也被$d$整除, 故不會互質,但在這種情況可取$a'=a/d$,$b'=b/d$,$c'=c/d^2$得到更小的解;如果$d=1$,則$b$和$c$互質,不過$c-b^2$和$c+b^2$兩數不一定會互質, 但你做一些分析後,會發現2是唯一可能的公因數。

在2整除$c-b^2$和$c+b^2$的的情況下 3 3 見 https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat\%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents. ,做些類似的分析和演算,也會得出較小解$(a',b',c')$。

如果你是專業數學家,且喜歡代數幾何,則你甚或可把費馬的方法,重新翻譯成橢圓曲線上的下降(descent)。

對專業數學家來說,令人尷尬的是,我們並不確定費馬沒有證明這個所謂的定理 (它在1990年代初期才成為定理,在17世紀或18世紀並不是定理)。

我們相信費馬寫下頁邊筆記時構想的證明並不正確,但也無法確定,所以仍有一種合理的可能性:費馬確實發現了一些東西,但因沒寫下來而已丟失,世上某些聰明人, 仍有可能透過代數推演及因式分解,提出聰明的方法來重建論證。

這樣的想法導致,每一份數學期刊,特別是數論的期刊,都會收到源源不絕的文稿,聲稱重新發現了費馬在17世紀的論證。

如果你是期刊編輯,會深感困擾,因為你老是收到這些文稿,而且知道它們是錯的。

但你是從經驗判斷它們是錯的,並非因讀完文稿才說它們是錯的。

類似的投稿,有解決Goldbach猜想的、黎曼猜想的,或物理學的大統一等等的;看到這些標題,編輯們就知道麻煩又來了,但邏輯上, 也不能完全否定它們之中有朝一日出現正確證明的可能。

數論學家PauloRibenboims是巴西人,任教於加拿大安大略省的Kingston的Queen'sUniversity(已退休)。

他為業餘人士寫了題為《Fermat'sLastTheorem》的書。

這是一本相當厚實的書,總結所有已知在費馬方程上基本技巧能做的事。

如果你有雄心壯志,想藉由基本技巧來證明費馬最後定理,不防從閱讀本書起步,學習所有的東西。

也許你能找到些額外的東西,足以證明這個定理。

暢銷書及大眾媒體常愛牽扯到費馬最後定理,譬如《龍紋身的女孩》這部小說。

我準備演講時,向柏克萊的某位數論學者提及此事,他說: 「我們應該告訴眾人星際爭霸戰(StarTrek)的事」。

星際爭霸戰是1960年代的電視影集,擁有廣大粉絲。

你可以去YouTube看其中一集"Fermat'sLastTheoremofStarTrek";在那集中,主角討論著:「費馬最初的斷言已延宕 700年,迄今懸而未決」。

他們錯了,不過當時寫劇本的人,也無法從心所欲地展望未來。

有許多與費馬最後定理相關的暢銷書,你可在Google圖書搜尋關鍵字『費馬』,並試圖排除任何疑似在討論數學的東西;你會發現那些痴迷於費馬最後定理的小說人物及主角。

費馬也出現在名為辛普森的電視影集。

值得注意的是,辛普森的大多數編劇,在寫作時都堅持忠於各種數學。

不久前賽蒙辛(SimonSingh)寫了一本關於辛普森的書。

賽蒙辛是英國作家;他起初是物理學家,曾在瑞士擔任博士後,之後為BBC做紀錄片。

他曾為費馬最後定理製作紀錄片(美國稱之為TheProof),英國廣播公司成片後數月,在美國上映,也在YouTube播出。

他拍完這部紀錄片後,熱衷於費馬最後定理,寫了一本關於它的書。

那是一本很棒的書。

之後他繼續著述,「我曾是物理學家,曾是紀錄片製作人,現在是科普作家」。

他正在寫宇宙學、數學、密碼學及其他主題的書。

他非常棒,我當然推薦這本關於費馬的書 4 4 此書及賽蒙辛的另一本著作"TheCodeBook"《碼書》有中譯本. 由台灣商物印書館發行。

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現在我們稍微深入地談些較為嚴肅的數學,但仍以歷史的角度來看。

費馬把$n=4$的情況分開處理。

而$n=2$的情況是希臘人的研究,實際上並不屬費馬最後定理;費馬最後定理關乎$n\gt2$。

你可能會問:已知$n=4$是如何,那麼$n=3$或$n=5$時會是如何?從基本觀點來看,明顯的是:若你能對某指數證明定理,則也證明了 $n$為該指數的倍數的情況。

例如,你不必擔心8次方,因為8次方也是4次方;你不必擔心12次方,因為12次方也是4次方。

如果你考慮比2,3,4,5大的數字,每個這樣的數字都可以用4或某奇數的質數來整除。

既然費馬完成了$n=4$的情況,你只需處理$n$為質數的情況,而後套用這個基本的論證。

你必須看的是其他質數:3,5,7,11,13,17等等。

因此,不用處理一般的$a^n+b^n=c^n$,你僅需考慮$a^p+b^p=c^p$,$p$為奇質數的情況,費馬方程式通常採此形式。

費馬證明$n=4$的情況後,下個世紀中Euler處理了$n=3$的情況,他的論證與費馬的論證區別不大,除了他把等號右邊$c^3-b^3$分解成3 個因子 5 5 $c^3-b^3=(c-b)(c-\omegab)(c-\omega^2b)$,其中$\omega$是單元的立方根。

,而不是如同 $n=4$時分解成兩個。

在此情況有三個因子,攸關3次單位根$(-1+\sqrt{-3})/2$,因此會涉入更複雜的算術:不只有整數,且有$-3$的平方根。

這是初等數論的好課題。

今天下午有些想學初等數論的人要我推薦書,我推薦Niven、Zuckerman及Montgomery寫的初等數論好書 《AnIntroductiontotheTheoryofNumbers》第五版,此書討論了在包含3次單位根$(-1+\sqrt{-3})/2$之數系的算術,你可以從中理解 Euler的論證,確實僅有兩三頁,很值得學。

Euler以降的數年及數世紀裡,數學家確實處理了$p=5$及7的情況,但進度緩慢 6 6 見 https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat\%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents. 。

值得注意的是,之後數學家開發出一種方法,能夠快速檢查:對於給定的$p$,費馬方程式是否沒有正整數解 (或說費馬最後定理在$p$成立)。

這正是你很難向紐約時報記者解釋的:你不能靠有限的計算來真正證明定理,但對於任何給定的$p$,費馬最後定理在$p$是否成立, 確實存在可用數值檢驗的判別法。

檢驗大的質數$p$需要使用電腦。

例如在1950、1960年代,就能檢驗出費馬最後定理在$p=144169$成立。

如此藉由電腦的計算來檢驗費馬最後定理,著實成果驚人。

在Wiles宣布結果時,電腦計算已經驗證出:費馬最後定理在小於400萬的質數都成立,這是Buhler,Crandall,Ernvall,Metsänkylä的工作。

有趣的是,四人的工作發表在MathematicsofComputation(該期刊發表一些有關計算的成果)時,並不被看重。

大家都知道MathSciNet,這是美國數學學會的線上系統,用以對數學論文進行編目及評論;是美國數學學會的一項傑出產品。

實際上,當時MathSciNet評論者對於四人的工作,只是說:「常見的猜測得到證實:費馬最後定理」。

箇中牽涉到的運算確實很普通,而你可以輸入任何質數$p$,只要大小在電腦可以處理的範圍,即可經由電腦運算檢驗費馬最後定理在$p$的情況。

回顧歷史,Euler處理了$p=3$,而Dirichilet及Lamé等人處理了$p=5$或7。

在電腦科學時代,如何從20世紀之前的一位數、兩位數的$p$,轉化為非常大的$p$?何以致之?答案如我之前所述:你必須做因數分解。

費馬的論證把等號右邊分解為兩個因子;Euler的論證則有三個因子。

對於質數$p$,$c^p-b^p$是$p$個不同因子的乘積 7 7 $c^p-b^p=(c-b)(c-\omegab) \cdots(c-\omega^ib)\cdots(c-\omega^{p-1}b)$,其中 $\omega$是選定的$p$次單位根。

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你必須引入$p$次單位根,它不是1,但其$p$次方是1;如果你想把它記成複數,你可取它為$e^{2\pii/p}$; 如果你想抽象些,你就說你選取了一個,但不明確說出它的值。

現有$p$個不同因子,我們可否重複費馬在$n=4$的論證?你或許認為:不同的因數的乘積為完美的$p$次方時,每個因數都應為完美的$p$次方。

事實上,這個想法導致許多人提出了費馬最後定理的錯誤證明。

這種證明是錯誤的,因為有這種「$p$次方必為$p$次方的乘積」的想法是有問題的。

在較複雜的數字系統時,質因數分解不具唯一性;如果你的參考經驗是普通整數的算術,可能不會預期此事;事情並不像你想像的那麼好。

人們好奇:是否這正是費馬寫下頁邊筆記時所犯的錯誤。

但數學史學者會告訴你,在費馬的時代,人們尚未想到這種複雜系統的質因數分解唯一性的問題;但我們當然不知道實情。

對費馬能做什麼、不能做什麼的看法,總帶著臆測性。

有一本書解說了這整個主題,也是PauloRibenboims的著作,是本令人愉快的書。

它出版於1979年,以非常親切的方式向專業數學家講述費馬最後定理迄至當時的一切。

這是一本很好的書。

在這次演講的最後,我想談談我在理想類方面的論文。

我本可把時間全用在談論AndrewWiles以及1993年、94年及95年發生的事,其中有許多重大的歷史值得談,但我選擇最後回到質因數分解的議題。

費馬最後定理的研究衍生出許多理論,有些並未被AndrewWiles用於費馬最後定理的證明,但並不意味它們沒有價值或有所缺失。

費馬最後定理的研究,提供了數學各種不同的工具,迄今仍被使用。

但在此之前,容我在很短的時間內,談談90年代中葉費馬最後定理的實際證明。

令人驚嘆的是,它涉及到一個小小的輔助建構,這個輔助建構源自德國數學家GerhardtFrey在80年代初期的構想。

Frey的構想是:假設$a,b,c$是費馬方程式的正整數解,$a^n+b^n=c^n$,考慮輔助的三次方程式:$y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$,這定義了一條所謂的橢圓曲線, 然後再試圖導出矛盾。

Frey想到的矛盾的性質是Wiles在RichardTaylor的幫助下證明的,他們證明這條橢圓曲線是模的(modular),這是說它與模形式(modularform)有某種關聯。

而我在1986年證明了該曲線不是模的。

這是個反證法,邏輯上有些複雜難懂。

1993年,向電視記者解說時,我必須仔細地考慮自己到底能說什麼。

現在來談談質因數分解。

首先,把所有的整數及一個$p$次單位根做所有可能的、有限多次的加、減、乘運算,建構成了由$p$次單位根所生成的環(ring)。

這個環是否具有質因數分解的唯一性?答案是:當$p$等於3,5,7,11,13,17和19時,確實如此,但僅止於這些。

不能超過19;這是已知的,23不是如此。

JohnMasley和HughMontogomery在1970年代證明 8 8 J.M.MasleyandH.L.Montgomery, Cyclotomicfieldswithuniquefactorization,J.ReineAngew.Math.286/287(1976),248-256. :對於超過19的質數,質因數分解在其對應的環不具唯一性。

如果你的論證用到質因數分解的唯一性,你可能要放棄它,因為它只適用於我列出的質數,不能大於19。

現在來講一些研究生該知道的專業數學。

當你嘗試在數學中研習某件事時,必須有阻礙物(obstruction)的概念,它阻礙某事發生。

在目前情況,質因數分解唯一性的阻礙物是個有限群,被稱為類群(classgroup),因其依賴於其所對應的質數$p$,我們寫下足標 $p$並記之為${\calG}_p$。

它是有限的阿貝爾群(abeliangroup)。

(事實上,在代數數論,它為有限並非明顯的事實,必須用一些論證才能證明)。

由$p$次單位根所生成的環具有質因數分解的唯一性,若且唯若它所對應的類群只有一個元素(亦即是平凡群)。

令人驚訝的是,Masley和Montogomery證明,這個群僅當$p$不大於$19$時才為平凡群。

而你所要做的就是弄清楚超過19的情況。

ErnstKummer 這個主題的大英雄顯然是19世紀的ErnstKummer,他催生了當代代數數論。

他審視涉及質因數分解的論證後證明:若類群${\calG}_p$的階(order)不能被$p$整除,費馬最後定理在$p$仍成立。

這是Kummer的定理。

類群的階被稱為類數(classnumber)。

結構上,你取此阿貝爾群的$p$-part 9 9 即 theSylow$p$-subgroupof${\calG}_p$. ,這個子群是平凡群,恰當$p$不能整除類數。

譬如,質因式分解非唯一的首個質數是$p=23$,類數為3,不能被23整除。

當$p=29$,類數不能被29整除。

當$p=31$,類數也不能被31整除。

但當$p=37$,類數被37整除。

如是,Kummer的定理不適用於所有質數,但它適用於許多質數。

聽眾中有人曾問我:該讀什麼數論的書?較進階的,我在演講廳外提到了Borevich及Shafarevich的書,我曾從中學習 Kummer的論證,你不妨把它當作這個演講的參考文獻。

Kummer不僅在類數不能被$p$整除時,證明了費馬最後定理,而且給出了數值判別法,使你能夠很快判斷類數是否可被$p$整除。

如何得知37整除${\calG}_{37}$的階?Kummer的判別法涉及伯努利數(Bernoullinumber),它是與指數函數非常相關的某函數之泰勒係數。

考慮指數函數,$e^x$的冪級數從1起頭,將它減去1,則差的冪級數以$x$起頭,將其除以$x$,則冪級數再次從1起頭。

對這個從1起頭的冪級數取倒數,得到從1起頭的如下冪級數: $$\frac{x}{e^x-1}=1-\fracx2+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}-\cdots.$$ 審視它時,會發現一些你能很快證明的性質。

其一是僅$x$的偶次冪有非零係數,唯一的例外是$x$本身,其係數為$-1/2$。

另外,非零係數出現於平方項、四次方項等等,正負號交替。

將$x^i$的係數乘以階乘$i!$即為第$i$個伯努利數$B_i$。

因此,$B_1=-1/2$,$B_2=1/6$,而$B_4$是$-720$除以4!之後取倒數: $$B_2=\frac16,\B_4=-\frac1{30},\B_6=\frac1{42},\B_{12}=-\frac{691}{2730},\cdots.$$ 開頭幾個伯努利數都是分子為1的分數;$B_{12}$是首個分子不為1的分數,其分子為691。

Kummer的判別法可由這些伯努利數描述。

他證明:類數不能被$p$整除若且唯若伯努利數串$B_2,B_4,\ldots,B_{p-3}$中各個分數的分子都不能被$p$整除。

你須取成串的伯努利數,共有$p-3$個,其實是$(p-3)/2$個,因為其中一半為零,你希望其中沒有一個分數的分子能被$p$整除:若是這樣,則 Kummer定理的條件就成立,你就能確定費馬最後定理在$p$成立。

來談談它們不能被$p$整除的機率。

不妨將各個分子當成隨機數,則其不被$p$整除的機率為$1-(1/p)$。

因此,粗略來說,$p$滿足Kummer定理的條件的機率為$(1-1/p)^{(p-3)/2}$,其中$(p-3)/2$是你必須檢查的伯努利數的個數。

令$p$趨近無窮大,由微積分得知該機率的極限值為$e^{-1/2}$。

這粗略意味著,對指數$p$證得費馬最後定理的機率為$e^{-1/2}$,約為60.65%。

亦即,直觀的說,全部質數中約有三分之二的$p$,可據此證明對應的費馬方程式$x^p+y^p=z^p$沒有非零正整數解。

你或許會問:1993年Buhler,Crandall,Ernvall,Metsänkylä為上達400萬的數字證明了定理,這些數字都屬這三分之二嗎?如果你閱讀那些書, 會看到改良過的條件。

在Kummer定理的條件(意即$p$不整除類數)不被滿足的情況,後繼者發現了越來越多關於$p$的條件,來證明費馬最後定理在$p$成立。

它們都是很好的條件,分別適用於某些質數。

而且,400萬以內的每一個質數$p$,都有一個適用條件。

但我應該舉幾個例子來說明Kummer判別法失靈的情況。

例如,取$p=37$,則你必須檢查$B_2$及$B_{34}$之間的伯努利數,其中$B_{32}$的分子可被37整除: $$B_{32}=\frac{37\cdot783\cdot305065927}{510};$$ 因此Kummer的條件對37不奏效。

另外,極其著名的是,Kummer條件在$p$為質數691時也不被滿足;此時你考慮$B_2$及$B_{689}$之間的伯努利數,其中$B_{12}$的分子為691。

這些是不滿足Kummer條件的質數,稱為不規則質數(irregularprimes)。

2001年,Buhler,Crandall,Ernvall,Metsänkylä,Shorkrollahi合寫的一篇論文驗證了:若你取1200萬以內的質數,共有比例約 61%的質數$p$滿足Kummer的條件,此數值非常接近直觀猜測的$e^{-1/2}$。

你可回到Borevich和Shafarevich的書,從而可用一些簡單的技巧來產生不規則質數,因而得到無限多個不規則質數。

對我來說,真正神奇的是,規則質數(regularprimes)理應占多數,但我們竟不知它們的個數是否無限。

在數論中有很多這類的尷尬:許多非常簡單的問題,答案仍屬未知。

回首19世紀,Kummer的條件看似適用於大多數質數;但我們其實無法證明如此的質數有無限多個。

這真的非常令人驚訝。

因為演講的時間有限,對我在1976年左右關於Kummer判別法的工作,我將僅做非常簡單的描述。

Kummer判別法是一個非常明確的敘述:若且唯若某件事是對的,另一件事才是對的。

1976年時我還在用熟悉的打字機打論文。

我在巴黎IHÉS研究所使用秘書的辦公室,因為秘書的打字機比數學家的好,而且我想仔細打些符號及希臘字母。

我在午餐時間借用秘書的辦公室。

哈佛的某著名數學家進來說:「你在做什麼?」我說:「我正在改進Kummer判別法」。

他說:「為什麼要改進Kummer判別法?這是一個判別法,還有什麼可說的?」答案是:這個判別法中有$(p-3)/2$個不同的伯努利數。

而你可以把我之前介紹過的類群分解成$(p-3)/2$個不同的分部(component)。

我初次證明的是:不同的伯努利數對應於不同的分部。

我所以會做這個,是要檢查我正在著手的工作。

我不認為這有甚麼了不起,以為這已眾所周知。

我在IHÉS吃午餐時(你知道這是該研究所的價值:你可以在與同事共進午餐時討論數學),提到我在檢查某事,於是 JohnCoates抬頭說道:「等一下。

這是未知的。

誰證明了它?它還未被證明。

」我很困惑,這有點像天啟的感覺,我頓時不知道自己正在做什麼;我之前以為這是個已被證明的定理,我只是給它一個新的證明。

我會再次跳過一些投影片,因為演講時間很短。

但我想給你看一張JaquesHerbrand的照片,他是20世紀早期的邏輯學家兼數論學家。

他在畫面中央,非常、非常年輕。

他出生於1908年,1931年去世,兩個年份的間隔不大。

他在拍攝這張照片的山中失足身亡,得年23歲或22歲。

我還是一名學生時,獲悉他的故事,因為我的室友是一位邏輯學家,正在翻譯他的書"Ecritslogiques" (邏輯寫作),我幫室友翻譯與cyclotomicfields(分圓體)有關的部分;cyclotomic意味著切割圓。

在書中cyclotomicfields被稱為corpuscirculaires。

我和室友想了解corpuscirculaires意味著什麼,而我發現它就是cyclotomicfields(分圓體),並如此翻譯。

結果是,我為伯努利數及類群的分部建立聯繫時所證明的,實際上是Herbrand過世前隱微證明之敘述的逆命題。

他證明:若伯努利數不能被$p$整除,則相應的分部是平凡群。

我證明:若伯努利數被$p$整除,則相應的分部就非平群。

我藉由模形式來證明;我用模形式構建出該分部所對應的類體(classfield)。

我的工作遵循Serre在1967年撰寫的文章,他在文章中首次將Galois表示與模形式聯繫起來,或者至少他看到了這種聯繫;他沒有確實把它們聯繫起來, 幾個月後,Deligne證明了Serre隱微認為必然為真的聯繫。

Serre這篇具有巴黎風格的數論文章,充溢著改變數論的奇妙想法,是我非常用心去了解的。

但回溯MathSciNet對那篇文章的評論,評論者對此全然不感興趣:"作者對拉瑪努嘉$\tau$函數的結果做了全面評述"。

這是整個評論。

但Serre做的不僅僅這些。

他介紹了模形式與Galois表示之間的整個聯繫;用此聯繫,我們才得以證明Herbrand的結果的逆命題。

我不會瀏覽隨後的投影片。

但事實顯示,在分圓體、有理數等情況下,觀察其擴展,以及將其嵌入更複雜的事物,是一種很好的解決問題方式。

它讓你從試圖了解的群,轉換到資訊豐富的、較大的群。

許多人發現我的技巧適用於其他情況,而對數論產生了相應的影響。

---整理者陳其誠任教於台灣大學數學系--- fiber_new 近期簡介  前期簡介  歷年季刊 ✏ 稿約  訂閱及編者訊息