花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理 - 泛科學

三個世紀後，由英國數學家安德魯懷爾斯（Andrew John Wiles）和其學生理查泰勒（Richard Taylor）於1993首次證明，並於1995年完善，被稱為「費馬大定理」。

而他們的證明中 ... 101文字分享友善列印繁|简101數學妙用科學史上的今天萬物之理花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理數感實驗室・2019/08/17・2551字・閱讀時間約5分鐘・SR值538・八年級＋追蹤相關標籤：卡茲岩澤理論懷爾斯橢圓曲線畢氏定理谷山－志村猜想費馬費馬最後定理類數公式熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症快篩時間《科學生》科普素養閱讀一篇不到3元!!年訂輸入summer1000，現折1000元數感實驗室／朱倍玉如果有人突然問你： \( a^{2}+b^{2=}\)？台灣學生大概像膝反射一樣，自然而然地答出 \(c^{2}\)。

直角三角形，直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。

這是人人都熟悉的畢氏定理，也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題費馬的本業是律師，但因為熱衷數學研究而被譽為業餘數學王子。

圖／wikipedia費馬（PierredeFermat）是17世紀的一名律師，數學是他業餘的興趣，當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。

雖然費馬本業跟數學天差地遠，但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究，在數學界的貢獻不輸職業數學家，也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》（Arithmetica）這本書時，費馬在書的空白處寫下「\( a^{n}+b^{n}=c^{n}\)，當 \( n>2 \) 時無正整數解」，並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明，可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子，再加上一句話，卻讓後世的數學家們花了足足三百年，直到1995年才由懷爾斯（AndrewJohnWiles）教授完成證明，而這項證明，被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20)編按：原文提及費馬定理時敘述為「無解」，實為「無正整數解」，特此更正。

懷爾斯在費馬的出生地前留影，其後是「費馬猜想」的雕刻。

圖／wikipedia立志要趁早，十歲許願解題的懷爾斯這個世紀大任務的起點是懷爾斯10歲那年。

他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書，當時，他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。

在其他人才正要認識三角形的年紀，懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。

正好，又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣，懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。

他踏入數學界的時期，正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。

大多數學家認為費馬最後定理無法證明，紛紛轉往其他領域。

懷爾斯的指導教授也不例外，要懷爾斯放棄夢想，別白忙一場。

也因此除了夢想外，他同時開始研究橢圓曲線註1這個領域。

然而事實上在更早以前，日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山－志村猜想」，他們認為橢圓曲線與「模形式」註2可能有關聯。

但是，橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢？1985年，德國數學家佛列（GerhardFrey）將谷山－志村猜想與費馬最後定理連結，他認為谷山－志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來，法國數學家賽爾（Jean-PierreSerre）、美國數學家里貝特（KenRibet）也投入研究。

他們發現只要證明出谷山－志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明，才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

卡茲協助懷爾斯完成證明費馬最後定理的最後一哩路。

圖／wikipedia於是，長達7年的時間，懷爾斯致力於研究谷山－志村猜想與費馬最後定理，他也找來另一位數學教授卡茲（NicholasKatz）加入研究。

懷爾斯是一個很低調的人，為了避免引起眾人的懷疑與關注，他在學校開設新課程，好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式註3。

由於懷爾斯從未說明開課目的，也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理，只是不停地證明，難度相當高，搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。

不久後，懷爾斯正式完成所有證明。

他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會，對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式，完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言，這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生，許多學者因此前來。

研討會上，懷爾斯從橢圓曲線、模形式，一路證明到費馬最後定理，帶給台下聽眾滿滿的驚喜。

隔天報章雜誌上，到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

儘管過程如此曲折，世紀難題終究還是從未竟之謎的名單中消除了。

圖／wikipedia以為解開了嗎？過程曲折離奇然而「福兮，禍之所伏」，驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。

當懷爾斯的證明手稿進入審查階段，卡茲與懷爾斯反覆驗證時，他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤，漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。

懷爾斯接受訪問時也表達，在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。

他把自己關在書桌前，試圖解決這個錯誤，然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際，他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。

一時靈光乍現，他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤，完成證明。

1995年，世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許，我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述，就是進入一棟大房子。

當一個人開始探索第一個全黑的房間時，裡頭一片漆黑，他會在家具中邊跌倒邊摸索。

漸漸地知道家具的位置。

六個月後，你會找到開關並且打開燈。

開燈的那一瞬間，整個房間被光線壟罩，你終於，能清楚地看見你站在哪裡」——懷爾斯（AndrewJohnWiles）BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片，這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽，仰賴歷史上許多數學家的一臂之力，更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。

從這個例子我們也可以看到，數學不是計算，更不是算得快就叫數學好。

它是思考與邏輯，能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的8月17日，正好是費馬的418歲生日，特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂！註釋：橢圓曲線（EllipticCurve）是二元三次曲線的一種形式，其圖形並非橢圓，而是圓環狀。

模形式（Modularforms）是具有極複雜對稱性的複數平面函數。

類數公式（Classnumberformula）與環的有限序列有關。

資料來源：費瑪最後定理（Fermat’sLastTheorem）紀錄片mathworld.wolfram-EllipticCurve模形式mathworld.wolfram-ClassNumberFormula解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》AndrewJohnWilesAndrew-WilesPierredeFermat發表意見文章難易度剛好太難所有討論 1登入與大家一起討論#1王晓明2021/06/25回覆http://www.sinovision.net/home/space/do/blog/uid/541216/id/310412.html费马大定理证明了全世界数学家都是白痴數感實驗室60篇文章・ 34位粉絲＋追蹤數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。

數感實驗室於2016年4月成立Facebook粉絲頁，迄今超過44,000位粉絲追蹤。

每天發布一則數學文章，內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。

詳見網站：http://numeracy.club/ 粉絲專頁：https://www.facebook.com/pg/numeracylab/TRENDING熱門討論即時熱門別為考試而學習，請為學習而考試16小時前想教導孩子，提升數學成績？關鍵在於父母的心態！17小時前總是覺得睡不好？教你如何一夜順「睡」215小時前豬圈裡的生活－《食品黑手黨》115小時前阿茲海默風暴：通訊作者的辯駁與責任62022/08/03你低頭看得到腳趾嗎？從腳趾頭看人類祖先的生存方式——《人從哪裡來：人類六百萬年的演化史》42022/07/24未知死，焉知生？從南美館《亞洲的地獄與幽魂》爭議看信仰的存在危機32022/07/17貓的痛，AI懂？——貓臉疼痛辨識技術32022/07/21RELATED相關文章證明「費馬最後定理」：懷爾斯生日│科學史上的今天：4/11費馬誕辰│科學史上的今天：8/17解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢？──《數學好有事》022文字分享友善列印022證明「費馬最後定理」：懷爾斯生日│科學史上的今天：4/11張瑞棋・2015/04/11・1131字・閱讀時間約2分鐘・SR值514・六年級＋追蹤相關標籤：懷爾斯科學史上的今天費馬費馬最後定理熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症快篩時間《科學生》科普素養閱讀一篇不到3元!!年訂輸入summer1000，現折1000元法國數學家費馬因沒寫下最後定理，讓各大數學家前仆後繼地試圖證明出來！圖／wikipedia兩千多年前畢達哥拉斯發現直角三角形斜邊的平方等於直角兩邊的平方和，於是成了我們每個人應該都背過的畢氏定理：a2+b2=c2；而其中存在許多整數解，例如（3、4、5）、（5、12、13）。

那麼三次方以上呢？也可以找到對應的整數解嗎？1637年，法國數學家費馬斷定地說沒有！他讀到丟番圖的《算術》一書中畢氏定理的論證時，在附近空白處寫下了著名的「費馬最後定理」：「另一方面，一個數字的立方不可能表示成兩個立方數的和，一個四次方數也不能表示成兩個四次方數的和；或者更概括性地說，除了平方之外，一個n次方的數也不能表示成兩個n次方數的和（xn +yn =zn）。

我已為這個命題找到了一個非常美妙的證明，然而這裡的空間不足以讓我寫下這個證明。

」自此包括大數學家歐拉在內的無數數學家前仆後繼，試圖證明此定理，但直到1839年，僅證明n=3、4、5、7時成立（n為這些數的倍數時也就當然成立），此後即再無進展（那些用電腦證明的同學不用舉手）。

於是這個定理的證明就只有費馬與上帝知道──或者他以為他知道。

沒有人料到這沉寂會在毫無預警的情況下被打破。

1993年6月，英國數學家懷爾斯(AndrewJ.Wiles)在劍橋大學辦了三場演講，事先沒有人知道他要談費馬最後定理，雖然他的題目跟費馬最後定理有些關係，但畢竟之前從未聽聞他在做這方面的研究，大家自然不會作此聯想。

直到第二天，參加演講的聽眾才發覺懷爾斯是在談如何攻克費馬最後定理這座高山的登山路線。

於是耳語立刻在數學界傳了開來，最後一場演講擠滿了聽眾，內向害羞的懷爾斯果然當場公佈了他完成的證明，令全場為之嘩然。

這消息也立刻傳遍全世界，第二天各國的頭版都刊登了這則數學史上的重大事件。

人們才知道懷爾斯已經默默地在這問題上耕耘了七年，除了妻子與一位同事，沒有告訴任何人。

然而，懷爾斯的喜悅沒有持續太久；幾個月後他的證明被發現有致命的錯誤，也就是說證明無效！懷爾斯試圖修補這個錯誤，經過一年多的嘗試，就在他打算放棄之際，他改採曾被他丟在一旁的方法，終於取得突破，而於1994年9月完成證明，並於次年發表。

這一次，經過同儕審查完全無誤，高懸三百多年的費馬最後定理終獲證明。

懷爾斯也從此在歷史留名。

 本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論張瑞棋423篇文章・ 541位粉絲＋追蹤1987年清華大學工業工程系畢業，1992年取得美國西北大學工業工程碩士。

浮沉科技業近二十載後，退休賦閒在家，當了中年大叔才開始寫作，成為泛科學專欄作者。

著有《科學史上的今天》一書；個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

TRENDING熱門討論即時熱門別為考試而學習，請為學習而考試16小時前想教導孩子，提升數學成績？關鍵在於父母的心態！17小時前總是覺得睡不好？教你如何一夜順「睡」215小時前豬圈裡的生活－《食品黑手黨》115小時前阿茲海默風暴：通訊作者的辯駁與責任62022/08/03你低頭看得到腳趾嗎？從腳趾頭看人類祖先的生存方式——《人從哪裡來：人類六百萬年的演化史》42022/07/24未知死，焉知生？從南美館《亞洲的地獄與幽魂》爭議看信仰的存在危機32022/07/17貓的痛，AI懂？——貓臉疼痛辨識技術32022/07/21RELATED相關文章花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理費馬誕辰│科學史上的今天：8/17納皮爾忌日｜科學史上的今天：4/4萊布尼茲誕辰│科學史上的今天：07/01020文字分享友善列印020笛卡兒座標系：將思考推往高維度的世界——《用數學的語言看世界》臉譜出版・2018/01/14・3975字・閱讀時間約8分鐘・SR值533・七年級＋追蹤相關標籤：勒內·笛卡兒垂心定理尺規作圖幾何原本畢氏定理笛卡兒座標高斯定理熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症快篩時間劃時代的想法「笛卡兒座標系」15世紀，古騰堡（Gutenberg）將活字印刷應用化之後，歐幾里德的《幾何原本》也變成活字版本了。

從1482年威尼斯的初版開始，世界上有超過一千種版本，可以說是除了《聖經》之外，銷量最多的一本書。

幾乎可以說《聖經》跟《幾何原本》是支撐歐洲文明的兩大支柱。

笛卡爾《談談方法》原版封面。

圖／wikimediacommons為歐幾里德的平面幾何帶來偉大變革的，是1596年出生的近代理性主義之父笛卡兒（Descartes）。

笛卡兒在他的著作《談談方法》中，提出追求真理的四大步驟：1.如果不是具有明證的真理，就不承認其為真。

2.為了更加了解問題，要將問題分割成許多小問題。

3.思考的順序是從單純的事物開始，依序往複雜的事物前進。

4.小問題都解決了之後，將小問題全部列出來，看看是否有遺漏，能不能涵蓋原本的大問題。

勒內·笛卡兒畫像，圖／byFransHals@wikipediacommons。

這也反應出了《幾何原本》的精神，從看起來理所當然的公理開始，一步步推導向複雜的圖形性質。

這個《談談方法》，是討論關於探討真理的方法的書籍序論。

笛卡兒提出了一個幾何學上的新見解，做為這個方法的試論，那就是：「平面上的點都可以用一組兩個的實數來表示，也就是（x,y）」。

在平面上垂直相交的兩條線，分別稱為x軸以及y軸。

為了表示平面上的點的位置，將點分別與x軸以及y軸做垂線，相交的點分別為x以及y，於是這個點的位置就可以用（x,　y）來表示，這就是所謂的「笛卡兒座標系」（圖6-10）。

雖然座標軸這個概念並不是笛卡兒發明的，這樣的座標系也可以稱為「直角座標系」，但因為笛卡兒用這個座標系導入新的幾何學概念，所以我在此稱之為「笛卡兒座標系」。

使用笛卡兒座標系的話，平面幾何的問題都可以代換成關於（x,y）的計算問題，連歐幾里德的五個公理，都可以用笛卡兒座標來解釋了。

圖6-10笛卡兒座標系（直角座標系），圖／《用數學的語言看世界》提供。

例如，〈公理3〉提到，平面上兩點（x1,y1）與（x2,y2），以一點為圓心，求通過另外一點的圓的解。

「圓」就是與某一點距離相同的所有點的集合，所以首先計算這兩點的距離。

如圖6-11，可以將（x1,y1）與（x2,y2）的距離，也就是這兩點所連結的線段想像成長方形的對角線。

根據畢氏定理，對角線的長度r的平方，就是長邊與短邊的平方和。

也可以表示成：〈公理3〉的「以（x1,y1）為中心，通過（x2,y2）的圓」就是與點（x1,y1）距離r的所有點的集合，因此滿足下面算式的所有（x,y）的集合就是解答。

(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2利用笛卡兒座標系，就可以將歐幾里德的幾何學問題化為方程式問題了。

圖6-11兩點間的距離r，可以當作長方形的對角線來計算，圖／《用數學的語言看世界》提供。

用方程式解開美妙的「垂心定理」2009年，日本數學書房出版了一本名為《這個定理真美妙》（この定理が美しい）的書。

這是一個大型企畫，由20位作者分別選出自己認為最美妙的數學定理，並且講述定理獨特的魅力，而我也選了「基本粒子論」中使用到的定理。

在這本書中，京都產業大學的牛瀧文宏先生選了平面幾何的「垂心定理」。

要介紹垂心定理，得先介紹三角形的垂線。

由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線，這條線就稱為垂線。

三角形有三個頂點，理所當然就有三條垂線。

所謂的「垂心定理」是指，這三條垂線必會相交在一個點，而這個點稱為垂心。

三角形垂心：由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線的「垂線」，三條垂線必會相交在一個點，而這個點稱為「垂心」。

圖／wikimediacommons兩條直線如果不是平行的話，一定會在某處相交，形成一個交點，這是理所當然的事情。

但是三條直線，就不一定會相交在同一個點了。

牛瀧先生在關於垂心定理的描述中提到，「當時身為中學生的我，被那個即使用盡了我的全力也無法到達的境界的證明所懾服，圖形的協調以及層層堆積的理論，使我確確實實感受到定理的美妙」。

古希臘時代流傳下來的，關於垂心定理的證明，巧妙的使用了輔助線，說是藝術也不為過。

網路上有許多關於垂心定理的證明，有興趣的人不妨參考。

在這邊利用笛卡兒座標系來證明這個定理。

證明中不講求細節，只是希望大家能感受一下方程式的氣氛，體會一下「將幾何問題化成方程式」的感覺。

假設三角形的頂點為a＝(0,0)，b＝(p,0)，c＝(q,r)。

頂點c對ab邊的垂線，可以用方程式表示為：x＝q頂點a對bc邊的垂線也可以用方程式表示為：頂點b對ca邊的垂線也可以用方程式表示為：最初的兩個方程式是x，y的聯立方程式，求解之後可以得到：（x,y）＝（q,(p－q)q/r）這個解也能滿足第三個方程式。

也就是說，這三個方程式有共同的一個解。

換句話說，三條垂線具有一個共同的交點，也就是垂心。

這個證明不像古希臘流傳下來使用輔助線的證明方法那樣帶有藝術性。

只是先將題目中的垂線利用笛卡兒座標表示成方程式，接著解聯立方程式，按照步驟機械式地一步步操作而已。

但正是因為不需要靈感，所以只要知道解法，誰都可以證明出同樣的答案。

如果使用輔助線的證明方法是在田野間悠閒騎著腳踏車，享受著田園風景前進，那麼利用笛卡兒座標系的證明方法就如同搭上由精密機械組裝而成的新幹線呼嘯而過一般。

笛卡兒座標終結了幾何學的牧歌時代，進入了重視效率的近代。

利用尺規作圖畫出的正五邊型，圖／byHkpawn@wikipediacommons。

有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系高斯定理：「如果圖形的邊長比，能夠利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示的話，這個圖形就可以作圖，如果不能，圖形就不能作圖」也可以用笛卡兒座標系簡單解釋。

作圖的基本規則是只使用尺跟圓規，所以又稱為尺規作圖。

在笛卡兒座標系中，利用尺畫出的直線，可以表示為一次函數y＝ax＋b，利用圓規畫出的圓是二次函數(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2。

因此，重複這些步驟作圖得到的線段長的比值，就是一次方程式以及二次方程式相互組合的解，也就是「可以利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示」。

笛卡兒座標不僅僅影響了幾何學，對於科學技術方面的影響更是廣泛且重大。

笛卡兒出版《談談方法》的序文〈探討真理的方法〉時，剛好是伽利略的晚年。

伽利略發現了許多關於物質運動的重要現象，包括——「鐘擺的等時性」：鐘擺的擺動週期是固定的，與擺動幅度無關；「自由落體法則」：物體落下時所需要的時間與物體重量無關；「慣性法則」：以等速度移動的物體，在不施加外力的狀況下，會一直維持等速度運動；「相對性」：在等速度移動的座標系中的力學法則，看起來與靜止座標系中的力學法則相同。

但是，即使發現了這麼多重大的發現，伽利略卻沒有完成力學體系，其中一個原因，或許是因為伽利略並不知道笛卡兒座標系吧。

伽利略畫像，圖／byJustusSustermans@wikipediacommons。

在伽利略過世那年出生的牛頓，為了將力學以及重力學的法則用數學方法表示時所使用的，正好就是笛卡兒座標系。

從此以後，科學以及工程學的各式各樣方程式都可以利用笛卡兒座標系表示。

今日，只要是有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系。

例如，電腦螢幕或是手機畫面上的點的位置，就是轉換成笛卡兒座標系，以數字表示，而能使電腦處理畫面上的圖像。

將思考推往高維度的世界笛卡兒座標還有另一個重大貢獻，它將人類的思考從平面中解放，前往更高維度。

二維平面的點可以用一組兩個的數字（x,y）表示，三維空間的點也能用一組三個的數字（x,y,z）代表。

在三維空間中畫出互相垂直相交的三條直線，稱之為x軸、y軸、z軸，在三維空間的點，分別對這三個軸做垂線，得到x、y、z的數值，這個一組三個的數值就是點的座標。

二維平面上兩點（x,y）與（x’,y’）的距離r的公式是：同樣的，三維空間中兩點（x,y,z）與（x’,y’,z’）的距離r公式是：利用座標表示點的位置的話，能夠簡單地表示比三維更高維度的空間。

n維度的空間，就是無數個由一組n個數的座標（x1,……,xn）所表示的點的集合。

三維的世界是眼睛可以看到的世界，但我們還是會懷疑、思考看不到的四維以上的空間到底有沒有意義。

然而，我們的日常生活所遭遇的事物之中，就隱藏著高維度世界。

  本文選自《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》，臉譜出版。

  發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論臉譜出版61篇文章・ 241位粉絲＋追蹤臉譜出版有著多種樣貌—商業。

文學。

人文。

科普。

藝術。

生活。

希望每個人都能找到他要的書，每本書都能找到讀它的人，讀書可以僅是一種樂趣，甚或一個最尋常的生活習慣。

TRENDING熱門討論即時熱門別為考試而學習，請為學習而考試16小時前想教導孩子，提升數學成績？關鍵在於父母的心態！17小時前總是覺得睡不好？教你如何一夜順「睡」215小時前豬圈裡的生活－《食品黑手黨》115小時前阿茲海默風暴：通訊作者的辯駁與責任62022/08/03你低頭看得到腳趾嗎？從腳趾頭看人類祖先的生存方式——《人從哪裡來：人類六百萬年的演化史》42022/07/24未知死，焉知生？從南美館《亞洲的地獄與幽魂》爭議看信仰的存在危機32022/07/17貓的痛，AI懂？——貓臉疼痛辨識技術32022/07/21RELATED相關文章為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢？──《數學好有事》數學魔術之道——《數學大觀念》推薦序花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理黃金比例如何啟發世界的「美」！002文字分享友善列印002解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》科學月刊・2016/08/28・3762字・閱讀時間約7分鐘・SR值556・八年級＋追蹤相關標籤：世紀難題代數幾何懷爾斯數學費馬最後定理阿貝爾獎熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症快篩時間作者｜李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯（AndrewWiles）獲得，推薦文中指出，為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明，對數論的發展開啟一個新的世代，獎項已於今（2016）年5月24日在挪威首都奧斯陸頒發。

懷爾斯。

圖／wiki英年早逝的天才數學家阿貝爾阿貝爾（NielsHenrikAbel，1802~1829）是挪威歷史上一位非常著名的數學家，他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。

19歲時，他解決了困惑數學界200年的老問題：一般5次方程式根的公式解是不存在的，如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。

另外他在超越函數上的研究，對橢圓函數理論起了革命性的影響。

阿貝爾生前非常貧困，18歲時就肩負起照顧家中6個弟妹的重責，後來不幸罹患肺結核，因為無法得到良好的調養，很可惜在1829年4月6日以26歲的年紀辭世，實在是英年早逝，死後兩天，數學家克雷勒（AugustLeopoldCrelle）攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書，但已經來不及了。

後來數學界為了紀念他，特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群（abeliangroup）」，以他為名的專有名詞已經被普通化了，是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭，這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾，但這個獎項的成立一直要等到西元2002年阿貝爾200歲誕辰方才實現。

2002年阿貝爾獎開始頒發，而第一屆的得主便是法國數學家，同時是數學界大老的謝爾（Jean-PierreSerre）。

去年2015年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許，但去年5月19日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難，曾造成新聞界一陣報導。

觀察阿貝爾獎的歷屆得主，都是當代數學的翹楚，而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老，懷爾斯雖屬壯年，但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題，名氣實在太大了，因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授2016年的獎給他。

有人說這是遲來的獎項，因為自從20幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後，已經得獎無數，幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括，其中包括著名的沃爾夫數學獎（1995年）、沃爾夫斯克爾獎（1997年）以及邵逸夫獎（2005年）等，今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。

值得一提的是，當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過40，無緣獲得數學界的費爾茲獎章（FieldsMedal）。

 費馬最後定理「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目，並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式：xn+yn=zn的正整數解。

當n=2時，讓我們想到熟知的畢氏定理（又稱勾股弦定理），此處 z代表一個直角三角形的斜邊長，x與 y則為此三角形之兩股的長，也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。

這個方程式當然有許多正整數解，例如：x=3，y=4，z=5；x=6，y=8，z=10；x=5，y=12，z=13⋯⋯等等。

費馬聲稱當 n≥3為正整數時，就不存在非零的整數解。

費馬最後定理中n=2時的a2+b2=c2 也就是一般所熟知的畢氏定理。

圖／wiki數學業餘王子─費馬費馬（PierredeFermat，1601~1665）是一位留著長髮，穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。

他是17世紀最卓越的數學家之一，在許多數學領域都有極大的貢獻，例如：他在笛卡兒之前發明解析幾何，也在微積分的發展有所建樹，他與巴斯卡被公認是機率論的先驅，然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。

他的本行是專業的律師，數學只是他的愛好，而他所作的數學作品都是第一等的工作，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子」的美譽。

在1637年的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖（Diophantus）的數論書《算術學》（Arithmetica）時，突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理：當 n≥3為正整數時，沒有非零的整數解。

費馬。

當時費馬並沒有說明原因，不過他留下這一段話：「我已經發現一個非常美妙的證明，只是書頁的空白處太小無法寫下來。

」，始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題，300多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功，這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。

19世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及300法郎給任何解決此一難題之人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。

德國的一位工業家沃爾夫斯克爾（PaulWolfskehl，1856~1906）對「費馬最後定理」情有獨鍾，他死後，根據其遺囑遺贈10萬馬克（約合5000萬新臺幣），頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

在戴奧弗多斯（Diophantus）的《算數》（Arithmetica）1680年的版本中，出現了費馬最後定理。

這個獎在1908年設立，有效期間為100年，懷爾斯在1997年領到這個獎時，獎金只有約150萬新臺幣，原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條，此筆獎額已大幅貶值了。

當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時，確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題，而社會上也掀起了一股瘋「FLT（Fermat’sLasttheorem）熱」。

20世紀電腦發展以後，許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n很大時是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時「費馬最後定理」是正確的，286243-1是一個天文數字，大約有25960位數。

雖然如此，數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。

不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明，其實他是利用20世紀過去30年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯1993年的6月21~23日，懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果，這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾，懷爾斯證出費馬最後定理的消息在1993年的6月24日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。

一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞，可謂空前絕後，原因正如前面所言，這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題，並不需具備很強的數學專業知識。

其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣，敘述都很淺顯易懂，內容也很吸引人去思考，可是證明起來都很難。

懷爾斯在1993年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後，卻發現了極大的瑕疵，後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救，終於在1994年9月修正成功，並且在1995年將修正後的論文發表在《數學年刊》（AnnalsofMathematics）上。

偉大的集體成就「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力，最早在1950年代，日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，即二元三次方程式y2=x3+ax2+bx+c定義的圖形，其中 a、b、c為有理數，它不是橢圓，而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。

後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大，提出谷山–志村猜想：每一個橢圓曲線都具有一種模形式（modularitypattern），這個名詞與高等數學複變函數論有關，在此就不擬加以解釋。

當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯，直到1980年代，德國數學家佛列（GerhardFrey）才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。

若對奇質數p而言，ap+bp+cp 有異於零的整數解，則佛列建議考慮橢圓曲線y2=x(x+ap)(x-bp)，此曲線後來被稱為佛列曲線，因為他覺得此橢圓曲線的判別式a2pb2p(ap+bp)2=(abc)2p 呈現出一點不太尋常，因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式，所以只要能證明谷山–志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良，並且在1986年由數學家里貝特（KenRibet）證明從ap+bp=cp所得的佛列曲線違反模形式。

根據里貝特的這個啟發，懷爾斯就全力去從事谷山志村猜想的證明，至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。

最後他證明了任何半穩定（semistable）橢圓曲線都具有模形式，而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線，因此證明ap+bp=cp之非零整數解是不存在，從而證明了「費馬最後定理」。

這裡要提一點，「費馬最後定理」是說對任何大於2的整數 n而言，an+bn=cn沒有非零的整數解，其實就是要證明對 n=4及任意奇質數（3、5、7⋯）均成立即可，因為對任何大於2的整數 n，n必有4或奇質數的因數，而當 n=4時，費馬曾經給予證明（用數論的技巧就可以證出），因此只需考慮而 p為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決，雖然懷爾斯完成了封頂之作，但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣；自古以來，很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始，激發數學家的興趣，為了尋求問題的解決，不斷努力發展新的數學技巧，也豐富了數學的內涵，而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果，我們可以說：數學演進就是團隊合作的結晶。

  〈本文選自《科學月刊》2016年7月號〉延伸閱讀：數海英雌的孤單與堅強—中研院院士張聖容專訪數學的諾貝爾獎什麼？！你還不知道《科學月刊》，我們46歲囉！入不惑之年還是可以當個科青發表意見文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論科學月刊229篇文章・ 1987位粉絲＋追蹤非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年，自創刊以來始終致力於科學普及工作；我們相信，提供一份正確而完整的科學知識，就是回饋給讀者最好的品質保證。

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