2.8合成函數及隱函數之微分 - 高雄大學

但對合成函數（許多函數皆以合成函數的形式出現），簡單的如 尚可由定義直接求其導數，較複雜的如 怎麼辦？在此我們將給一關於合成函數微分之定理，稱為連鎖規則。

a. 定理 ... 合成函數及隱函數之微分 　         對幾個可微分函數，我們已可處理其四則運算之微分。

但對合成函數（許多函數皆以合成函數的形式出現），簡單的如 尚可由定義直接求其導數，較複雜的如 怎麼辦？在此我們將給一關於合成函數微分之定理，稱為連鎖規則。

 a 定理. 設，且及皆存在，其中。

則存在，且 。

 a         上述定理也很容易可推廣至三個甚至任意有限個函數之合成的情況。

例如，設 ，且設皆存在，其中。

則存在，且 。

或寫成 。

或令 ，則有下述萊布尼茲的記號： 。

 a 例 1.求下述函數之微分。

（1）， （2）， （3）。

      a 例 2.設 。

令 ，求 。

     a         其次我們來看隱函數之微分。

大部分我們曾討論過的函數皆可以一方程式表示出，如。

但並非每一函數皆可明確地定義出，如，就不是很容易地可解出以x 來表示y。

不過仍有可能存在一函數 f，使得 ， 對每一在 f之定義域的x 存在。

此時我們便說該方程式隱含地定義出一函數。

        隱函數之微分往往可不經由解出該函數而得，這過程便稱之為隱函數之微分。

 a 例 3.設，利用隱函數微分法求，並給出過點(3,1)之切線方程式。

      a         利用隱函數之微分，也可求反函數之導數。

設為一1-1函數，且 存在。

以g 表f之反函數，即對y 屬於某一集合，，且 ， 或 ， 只要。

由此可知，在某種意義下，一函數之導數與其反函數之導數互為倒數。

 a 定理. 設f為一在[a, b]中嚴格漸增且連續之函數，又g 令為f之反函數。

若對某，存在且不為 0，則存在且不為0，其中，且 。

   a 例 4.設，求其反函數之微分。

     a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 合成函數及隱函數之微分。

微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。