「兜圈子= 想清楚≠ 白費力氣」 — 排列組合進階. Q - 有熊老師

Q：「為什麼排列組合，要學那麼多題目？」. “「兜圈子= 想清楚≠ 白費力氣」 — 排列組合進階” is published by 有熊老師. GetunlimitedaccessOpeninappHomeNotificationsListsStoriesWrite「兜圈子=想清楚≠白費力氣」—排列組合進階Q：「為什麼排列組合，要學那麼多題目？」選項A)一種軍備競賽，過去的題目大家都學過了，老師不想讓人拿滿分，只好再出新的B)因為不知道學測會出哪一種，只好全都練習C)日常生活、後續的學習裡都很常會用到這些題型，所以要會D)讓你動腦啊！不動腦怎麼會變聰明！你如果問我啊，排列組合的確在後續的學習(比如說機率)，或日常生活中還算有用；但卻也不是每一種題型都用得到—誰會沒事去把甲到庚排一列？那我們學那麼多題型幹嘛？我要說，當然是D)讓你動腦啊！不動腦怎麼會變聰明！老師出學生沒看過的題目，不該是為了怕學生答對，而是怕學生「記得舊題型」，就不動腦了；同樣的，學生在學排列組合的時候，也不應該「反正我把正確的做法記起來」……記來幹嘛呢？學測又不出重複的題目。

老師應該要提醒學生「利用機會」，趁著正在學排列組合，把腦袋瓜磨利一點；心裡有什麼「好像有點卡卡」的地方，就要把它想下去—真想不透，就問！一道題目，既然我已經知道可以怎麼算了；那就去想「為什麼不能那樣算？」為了避免學生「未戰先降」，我們從從簡單到大家應該有自信、應會的問題來示範吧：這題夠簡單吧如果你沒辦法想到「法二：人挑位置」的做法，或者是第一次看到這樣的算法，建議你先去看本篇的前傳：排列組合入門到進階在上面這篇文章裡，我說明了為什麼不需要去區分「排列」或是「組合」；而事實上，很多時候我們甚至不需要區分「重複」還是「不重複」—重點是「你能說出整個故事(搞清楚整件事)嗎？」什麼叫「任取」？當你看到這個問題的時候，你該想的“不是”「這是排列嗎？是重複組合嗎？」而是想像這個「任取」是「怎麼個“任意”法」—來說說看吧，什麼叫「任取」？如果，你想像中的「任取」是「也可以取一個、也可以取兩個……」那就把它分析出來、把你想得都列出來，不要怕想錯(尤其不是在考試時)、也不該排斥多寫幾行算式。

我跟很多學生講過好幾遍「不要因為“不知道哪種算法最快”結果卡在那邊不寫」但如果你心中的「任取」是指「愛拿哪個都可以拿、也可以拿好幾個」，那你能不能讓自己寫出它的式子呢？排列組合的「一題多解」不是什麼很神奇的東西，它往往就是直指最核心的原理。

「連續進行6次“取/不取”的決策，就會等同於按「6個中取幾個」進行分析再加總的結果」—這就是二項式定理。

今天我不是要叫大家「都不要去區分“排列”、”組合”」；P也罷、C也罷、H也罷，在問題複雜的時候，它們都幫助我們「想得更輕鬆」、是很好的輔助工具。

但「人不為物役」，你的大腦才是這些工具的指揮者，不應該讓大腦的思考在第一時間被輔助工具侷限住；應該要保有、要訓練、要去提升最根本的能力—「想清楚整件事」的能力。

乘，是為什麼而乘？除，又是為什麼除？又為什麼是「3！」，而不是「3」？上面這幾題，你都有想清楚嗎？或者我更大膽一點地問：「你真的會嗎？」如果你不是正在學、正記得算法，如果我在高三的時候突然問你這一題……而你其實沒有「想清楚」它的能力的話，那你有那個自信作答嗎？你都有想正確嗎？像上面的第四題有一個「x3」，很多人只覺得好像該乘什麼，就會寫「x3！」……因為他覺得…這個章節，有！才是王道嘛……不要說多難的題目，很多學生連重複組合「該寫a的b次，還是b的a次？」都沒搞懂；或是重複排列「是Ha取b，還是Hb取a？」也很多人瞎猜。

但其實所謂重複排列，就是要去想像題目本身(甲有a個、乙有b個)「每個甲可以有b個選項、但只能選一個、而且一定得選；而某個乙可能被很多甲選中、也可能都沒被選到—這樣，是b的a次(每個甲有b個可以選，共作了a次選擇)」把題目的情境想清楚，其實就會寫了，而不是一看到題目，趕快「我記得……」，然後把數字抓起來亂湊。

而老師可以做的，比如說搭配像上面這張圖，不論學生寫對還是錯，你就用不滿、或很質疑的口吻問他：「乘這個3！做什麼？為什麼要乘這個？來說一下，你為什麼要乘」如果學生沒有想清楚，你就點破他，然後叫他「至少要發現“其實我沒想清楚”」—很多學生以為自己歪著頭「嗯…」然後湊一下數字，就叫作「想過了」，但其實只能算「回憶學過了什麼」、不叫「思考」。

而學生終於「真的很清楚」的那一次，他會用很肯定的口氣回應你的質疑、說明他這麼算的理由；(一種「你省省吧，我知道我是對的」的神情)那你就一臉理所當然地說：「嗯，對，很好，就是要想清楚。

」我一直在講「把事情想清楚」，這是排列組合最重要該學的能力，而想要訓練這點，可以1.從「題組」去觀察，不同的題目算法的差異，對應到它現實情境的差異2.讓自己多接觸「不同的思考路徑」比如說這一個題組，我相信大部份的學生，如果學完排列組合，應該都會看到。

如果你排列組合學完了的話，會寫吧？這題組會答對的人應該不少，但你知道每一題之間的差異和關聯嗎？除了前四題是有關聯的，後四題也一樣可以用「分層展開推論」的角度發現它們的關係。

我就不在圖上說明「為什麼要乘3!」了，這個讓你們自己想，不懂的就問老師或同學吧！另外，你看像第7、第8這兩題，其實它們是沒有特殊算法的，就是得討論。

有的學生會把第8題「不小心當成重複組合」—但那其實也不是什麼「不小心」，就是沒有去「事整件事想清楚」如果說H6取3的話，那是相當於「三張畫O的紅牌，分給6個不同的人，每個人可以拿不只一張」，但是這題裡，每件物品並不能同時進入兩堆之中，所以根本不合適。

第8題只能用討論的，但它討論出來，卻能再展開延伸到第5題的重複排列：你自己，有試著像這樣，捨棄已經學過的速解，重新「想像發生的事」，然後「尋找可能的分析方法」嗎？基礎問題熱身完了，後面是進階題嘍……同樣的，什麼叫「任取」？你要怎麼展開討論？有的問題呢，想清楚後，會有機會發現「哦，其實這就是用xx方式可以速算嘛……」但有時候呢，你會發現要「很花力氣想」否則很難從這個思路上，找到適用速算法的方式更有的時候，「分析」所占的比重，根本就已經遠勝過「學過的P、C、H」包括現在開始流行起「程式教育」，要寫程式，就一定要能解析當前的需求、要能分析而建立出流程，並在腦中按步展開它來確認是否想得正確—那絕對不會是「這題就是用P幾取幾」這種方式來解決問題的。

其實學排列組合，應該要練習這樣的分析能力；因為現實是很混沌、很不單純的。

而要練習「分析問題」又不一定要靠排列組合；比如說這一題國小數學：「假設三角形周長40，並且三邊皆為整數，滿足此條件的三角形共有幾種？」如果不要看提示，先試著分析看看吧……提示：若以「最大邊」作為討論核心，則「最大邊另兩邊」→最大邊x3>三邊和→最大邊>周長/3你有自己建立分析它的方法嗎？加油，要越學越聰明喲~~Morefrom有熊老師Follow跟大家分享「怎麼教數學」Lovepodcastsoraudiobooks?Learnonthegowithournewapp.TryKnowableAboutHelpTermsPrivacyGettheMediumappGetstarted有熊老師230Followers跟大家分享「怎麼教數學」FollowHelpStatusWritersBlogCareersPrivacyTermsAboutKnowable