排列組合問題的常用解題技巧與方法 - 點綴網

排列組合問題的常用解題技巧與方法,縱觀近年全國高考數學試題每年都有1 2個排列組合題考察排列組合的基礎知識與思維能力試題的難度與課本中的試題難度 ... 排列組合問題的常用解題技巧與方法 2022-06-0910:42:30字數3647閱讀1693 縱觀近年全國高考數學試題,每年都有1-2個排列組合題,考察排列組合的基礎知識與思維能力,試題的難度與課本中的試題難度相當,但也有個別試題的難度較大,重點考察學生理解、分析和解決問題的能力,有些試題以應用題的形式出現,考察學生解決實際生活問題的能力。

有關排列組合的問題是高中學生學習中棘手的一個問題,很多學生在高考中失分較多。

解決排列組合的有關問題,首先,必須認真審題,明確問題是否是排列、組合問題。

其次,抓住問題的本質特徵,靈活運用基本原理和公式進行分析解答。

實踐證明,備考的有效方法是題型和解法歸類,識別模式,熟練運用。

下面,談談筆者在多年教學研究中的一些解題思路與方法: 一、相鄰問題“**法”(大元素法、整體法或並組法) 對於某幾個元素要求相鄰的排列問題,可先將相鄰的元素“**”起來,看作一個大元素(整體)與其他元素排列,然後再對大元素內部進行排列。

例1:書架上有4本不同的數學書,5本不同的語文書,3本不同的化學書,全部豎起排成一排,如果不使同類書分開,一共有多少種排法? 分析:由於同類書不分開,即把4本數學書,5本語文書,3本化學書,分別捆成一捆,看作3個大元素進行排列有,每捆內部分別有種、種、種不同的排列,再由分步計數原理,共有排法:=103680種。

二、不相鄰問題“插空法” 對於某幾個元素要求不相鄰的問題,可以先將其他無要求的全排列,再把規定不相鄰的幾個元素插入上述幾個元素之間及兩端的空位之中。

例2:七個人並排站成一排,如果甲、乙兩人必須不相鄰,那麼,不同排法的種數是多少? 分析:先把5個人全排列有不同排法,再把甲乙兩人插入6個空位有種插法。

∴共有=3600種不同排法。

三、特殊元素“優先安排法” 對含有特殊元素的排列組合問題,一般應優先考慮特殊元素的排法,再考慮其他元素的排列。

例3:七人站成一排照相,其中甲不站排頭,也不站排尾,共有多少種排法? 分析:由於甲不站兩端,既為“特殊”元素,應優先安排,甲可站個位置,其餘6人再進行全排列共有,由分步計數原理得共有=3600種。

四、總體“淘汰法”(或排除法) 對於含有否定詞語的或者只有一部分符合條件的問題,可以從總體中把不符合要求條件的剔除去,此時應注意既不能多也不能少。

例4:以一個正方體頂點為頂點的四面體共有多少個? 分析:正方體共8個頂點,從中每次取4個點,理論上構成個四面體,但6個表面和6個對角面頂點共面都不能構成四面體,應把這些剔除,所以四面體實際上共有-12=58個。

五、順序固定問題用“除法”又稱定序排列 對於某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列,然後用總的排列數除以這幾個元素的全排列數。

例5:書架上有6本書,新買3本書插進去,要保持原來6本書的順序不變,共有多少種不同的排法? 分析:先將9本書進行全排列共有種排法,而原來的6本書保持原來的1種順序,其全排列為,∴共有的排法:n==504種 六、多排問題“單排法” 把幾個元素排成若干排的問題,若沒有其他的特殊要求,可採用統一排成一排的方法來處理。

例6:某班80個同學坐在10排座位上,每排坐8人,則共有多少種不同的坐法? 分析:80個同學可以在10排座位上隨意就坐,再無別的要求,故10排看成一排來處理,故不同的坐法有種。

七、標號排位問題“分步法” 把元素排到指定號碼的位置上,可先把某幾個元素按規定排入,第二步再排另一個元素如此繼續下去,依次即可完成。

例7:將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數,則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法共有幾種? 分析:先將1填入方格,符合條件的有種方法;第二步:把被填方格的對應數字填入其他三個方格;第二步餘下兩個數字只有一種填法。

故共有=9種。

八、有序問題“逐分法” 是指把元素按要求分成若干組,可用逐步分組法。

例8:有甲、乙、丙三項任務,甲需要2人承擔,乙、丙各需1人承擔,從10人中選4人承擔這三項任務,不同的選法總數有多少? 分析:先從10人中選出2人承擔甲項任務,再從剩餘的8人中選1人承擔乙,第三步從另外的7人中選1人承擔丙任務,不同的選法共有:=2520種。

九、多元問題“分類法” 元素多,取出的情況也有多種,可按結果要求分成不相容的幾類情況分別計算最後總解。

例9:由數字0、1、2、3、4、5組成沒有重複數字的六位數,其中個位數字小於十位數字的共有多少個? 分析:個位數字是0、1、2、3、4共五種情況,分別有個,個, 個,個,個, 合計:+++ +=300個 也可以用均等概率法:=300個 十、交叉問題“集合法” 某些排列組合問題幾部分之間有交集,可用集合中求元素個數公式: ∩(a∪b)=∩(a)+∩(b)-(a∩b) 例10:從6名運動員**選4人蔘加4×100m接力賽,如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少種不同參賽方法? 解:設全集i=,a=,b=.根據求集合元素個數公式得參賽方法共有: ∩(a∪b)=∩(i)-∩(a)-∩(b)+∩(a∩b)= ?d?d+=252種。

十一、至少問題“間接法” 關於“至少”型別組合問題,用間接法比較方便. 例11:從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺,其中至少要甲型和乙型電視機各一臺,則不同取法共有多少種? 分析:至少各一臺的反面就是分別只取一種型號,不取另外一種型號的電視機,故不同取法共有: ?d?d=70種。

十二、選排問題“先取後排法” 從幾類元素中取出符合條件的幾個元素,再安排到一定位置上,可用先取後排法。

例12:四個不同的球放入編號為1、2、3、4的四個盒中,則恰有一個空盒的放法共有多少種? 分析:先取四個球中的兩個為一組,另二組各一個球的方法有種,再排,在4個盒中每次排3個有種,故共有=144種。

十三、“隔板法” 對於被分組的元素是相同的,沒有區分的在分組後每組都至少含有一個元素的問題採用隔板法。

例13:將8個相同的籃球分給甲、乙、丙、丁四個班級,每個班級至少分到一個,有多少種不同的分法? 分析:設甲、乙、丙、丁四個班級分別分到籃球為x,y,z,w個,用3個相同隔板將8個元素分成四組,即將3塊隔板放在8個元素之間的7個位置上,共有=35種分法。

例14:求①方程:x+y+z+w=100的正整數解的個數。

②方程:x+y+z+w=100的非負整數解的個數。

③方程: x1+x2+…+xm=n的正整數解與非負整數解的個數。

以上各題均可採用隔板法。

十四、分組問題 均勻分組除法處理,非均勻分組組合處理。

例15:有9個不同的文具盒:⑴將其平均分成三組;⑵將其分成三組,每組個數分別為2、3、4。

上述問題有多少種不同的分法? 分析:⑴此題屬均勻分組問題,先取3個為第一組有種分法,再取3個為第二組,有種分法,剩下的3個為第三組,有種分法,由於三組之間沒有順序,故共有種分法。

⑵同⑴,共有種分法:因三組分的個數各不相同,暗含順序問題,故不必再除以,所以共有種分法。

十五、對應問題“對映法” 例16:三封信投寄四個郵箱,一共有多少種不同的投遞方法? 分析:三封信要投遞出去,相當於每封信都要有“象”,而郵箱可空,相當於a集合中有3個元素,b集合中有4個元素,子集a到集合b的對映個數43=64,即有64種方法。

一般的結論是:集合a中有m個元素,集合b中有n個元素,則集合a到b的對映有nm個,而從b到a的對映有mn個。

(作者單位:628300四川省廣元市劍州中學) 相關推薦 排列組合問題的常用解題技巧與方法 高一新生語文學習方法 高中語文的學習方法總結 相關推薦 排列組合問題的常用解題技巧與方法 高一新生語文學習方法 高中語文的學習方法總結 相關閱讀 排列組合問題的常用解題技巧與方法 高一新生語文學習方法 高中語文的學習方法總結 topic 工作總結 演講 建築 合同協議 數學 語文 制度 學習總結 解決方案 其它 調查 營銷 英語 其它課程 幼兒讀物 小學作文 書信模板 教學案例 實習總結 教育學 理化生 財務管理 法律資料 教學反思 初中作文 計算機軟體及應用 面試 生產 工作計劃 教學計劃