不定積分- 維基百科，自由的百科全書

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在微積分中，函數 f {\displaystylef} 的不定積分，是一個可微函數 F {\displaystyleF} 且其導數等於原來的函數 f {\displaystylef} ，即 F ′ = f {\displaystyleF'=f} 。

不定積分在原先的定義上並沒有設定區間，會與導函數間相差一常數 C {\displaystyleC} [註1][1]。

若導函數的定義是有區間的，請參照定積分。

不定積分和定積分間的關係係由微積分基本定理聯繫起來，函數的定積分可以透過先求得不定積分再帶入數字來運算。

目次 1性質 2例子 2.1微積分基本定理 2.2由積分定義的函數 3積分技巧 4不連續函數的積分 5不定積分公式表 6注釋 7參見 8參考資料 性質[編輯] 有一函數 K ( x ) {\displaystyleK(x)} 與其自變數x。

當 K ′ ( x ) {\displaystyleK^{\prime}(x)} =k(x)並在區間I中滿足所有自變數x，這時我們稱K為k的反導函數。

例子[編輯] 函數 K ( x ) = 2 x ln ⁡ 2 {\displaystyleK(x)={\tfrac{2^{x}}{\ln2}}} 是函數 k ( x ) = 2 x {\displaystylek(x)=2^{x}\!} 的一個反導函數，但實際上 k {\displaystylek} 的反導函數有無窮多個。

與 K {\displaystyleK} 相差一個常數的函數都是 k {\displaystylek} 的反導函數，這是因為常數函數的導數為零，例如： 2 x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 ,   2 x ln ⁡ 2 − e π {\displaystyle{\tfrac{2^{x}}{\ln2}}+\ln2,\{\tfrac{2^{x}}{\ln2}}-e^{\sqrt{\pi}}} 都為函數 k ( x ) {\displaystylek(x)} 的反導函數。

函數族 { 2 x ln ⁡ 2 + c | c ∈ R } {\displaystyle\{{\tfrac{2^{x}}{\ln2}}+c\;|\;c\in\mathbb{R}\}} 是 k ( x ) = 2 x {\displaystylek(x)=2^{x}} 的所有可能的反導函數的集合，其中 c {\displaystylec} 叫做積分常數。

從圖像上來看，這是 K ( x ) = 2 x ln ⁡ 2 {\displaystyleK(x)={\tfrac{2^{x}}{\ln2}}} 向上或向下平移後得到的一組函數，由定義可知它們在 x {\displaystylex} 軸同一點的斜率都是一樣的。

微積分基本定理[編輯] 不定積分的一個重要應用是計算定積分，微積分基本定理建立了兩者間的關係。

微積分基本定理：如果函數 f {\displaystylef} 是閉區間 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 上的連續函數， F {\displaystyleF} 是 f {\displaystylef} 在 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 上的一個反導函數，那麼有 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)} 證明：取區間 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 的一個分割： a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b {\displaystylea=x_{0} 0 {\displaystyleF(x)={\begin{cases}-{\frac{1}{x}}+C_{1}\qquadx<0\\-{\frac{1}{x}}+C_{2}\qquadx>0\end{cases}}} 就是函數 f ( x ) = 1 x 2 {\displaystylef(x)={\tfrac{1}{x^{2}}}} 的不定積分的一般形式。

其定義域為 ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle(-\infty,0)\cup(0,\infty)} 。

由積分定義的函數[編輯] 什麼樣的函數具有反導函數是微積分基本定理中的基本問題。

首先，每個連續函數都有反導函數，並且由上面可知，任一函數的反導函數如果存在的話會有無限多個。

其次，由微分基本性質可知，對於一個有反導函數的函數，其反導函數在某點取某特定值的只有一個。

要證明存在性，假設函數 f {\displaystylef} 的反導函數在 a {\displaystylea} 點為零，則它可以表示為如下的由積分定義的函數： Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t} 且 Φ ( a ) = 0 {\displaystyle\,\Phi(a)=0} 。

下面給出這函數是 f {\displaystylef} 的反導函數的證明： 證明： Φ ( x + Δ x ) − Φ ( x ) = ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle\Phi(x+\Deltax)-\Phi(x)=\int_{a}^{x+\Deltax}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t} = ∫ x x + Δ x f ( t ) d t {\displaystyle=\int_{x}^{x+\Deltax}f(t)\,\mathrm{d}t} = f ( ξ ) ⋅ Δ x {\displaystyle=f(\xi)\cdot\Deltax} ，其中 x < ξ < x + Δ x   {\displaystylex 0 {\displaystylea>0\,} ， a ≠ 1 {\displaystylea\neq1} ; ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C {\displaystyle\int\sinx\,\mathrm{d}x=-\cosx+C} ; ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C {\displaystyle\int\cosx\,\mathrm{d}x=\sinx+C} ; ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {\displaystyle\int\tanx\,\mathrm{d}x=-\ln\left|\cosx\right|+C} ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ | sin ⁡ x | + C {\displaystyle\int\cotx\,\mathrm{d}x=\ln\left|\sinx\right|+C} ∫ sec ⁡ x d x = R e A r t h tan ⁡ x 2 + C = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C = 1 2 ln ⁡ | 1 + sin ⁡ x 1 − sin ⁡ x | + C {\displaystyle\int\secx\,\mathrm{d}x={\rm{Re}}{\rm{Arth}}\tan{\frac{x}{2}}+C=\ln\left|\secx+\tanx\right|+C={\frac{1}{2}}\ln\left|{\frac{1+\sinx}{1-\sinx}}\right|+C} ∫ csc ⁡ x d x = R e L n tan ⁡ x 2 + C = ln ⁡ | csc ⁡ x − cot ⁡ x | + C = 1 2 ln ⁡ | 1 − cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x | + C {\displaystyle\int\cscx\,\mathrm{d}x={\rm{Re}}{\rm{Ln}}\tan{\frac{x}{2}}+C=\ln\left|\cscx-\cotx\right|+C={\frac{1}{2}}\ln\left|{\frac{1-\cosx}{1+\cosx}}\right|+C} ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C {\displaystyle\int\sec^{2}x\,\mathrm{d}x=\tanx+C} ; ∫ csc 2 ⁡ x d x = − cot ⁡ x + C {\displaystyle\int\csc^{2}x\,\mathrm{d}x=-\cotx+C} ; ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C {\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\,\mathrm{d}x=\arcsinx+C} ; ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C {\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}\,\mathrm{d}x=\arcsin{\frac{x}{a}}+C} ; ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C {\displaystyle\int{\frac{1}{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\arctanx+C} ; ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C {\displaystyle\int{\frac{1}{a^{2}+x^{2}}}\,\mathrm{d}x={\frac{1}{a}}\arctan{\frac{x}{a}}+C} ; ∫ sinh x d x = cosh x + C {\displaystyle\int\operatorname{sinh}\,x\,\mathrm{d}x=\operatorname{cosh}\,x\,+C} ; ∫ cosh x d x = sinh x + C {\displaystyle\int\operatorname{cosh}\,x\,\mathrm{d}x=\operatorname{sinh}\,x\,+C} ; ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C {\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}\mathrm{d}x=\operatorname{ln}(x+{\sqrt{x^{2}+a^{2}}})+C} ; ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ | x + x 2 − a 2 | + C {\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}}\mathrm{d}x=\operatorname{ln}|x+{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}|+C} ; 注釋[編輯] ^可由均值定理證明 ^指數函數、對數函數、代數函數、三角函數、反三角函數以及它們的有限次加減乘除開根號組合 參見[編輯] 定積分 參考資料[編輯] ^BruceEdward,RonLarson.EssentialCalculus:EarlyTranscendentalFunctions4/e(MetricVersion).U.S:CengageLearning.2018:209.ISBN 978-957-9282-07-9.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=不定积分&oldid=70045521」 分類：​積分學隱藏分類：​含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAzərbaycancaБеларускаяCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisहिन्दीՀայերենBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語Қазақшаភាសាខ្មែរ한국어LombardLietuviųМакедонскиNederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaไทยTürkçeТатарча/tatarçaУкраїнськаاردوVènetoTiếngViệt 編輯連結