初值問題- 维基百科，自由的百科全书

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子：. 初值問題 語言 監視 編輯 在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子： y ′ = 0.85 y , y ( 0 ) = 19 {\displaystyley'=0.85y,\qquady(0)=19} y ˙ + 3 y = 6 t + 5 , y ( 0 ) = 3 {\displaystyle{\dot{y}}+3y=6t+5,\qquady(0)=3} 目次 1定義 2解的存在性及唯一性 3範例 4參閱 5參考資料 定義編輯 一個初值問題涉及微分方程式 y ′ ( t ) = f ( t ,   y ( t ) ) with f : R × R → R {\displaystyley'(t)=f(t,\y(t))\quad{\text{with}}\quadf:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,\!}  ，與在 f {\displaystylef\,\!}  的定義域內的一點 ( t 0 ,   y 0 ) ∈ R × R {\displaystyle(t_{0},\y_{0})\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\!}  。

這在 f {\displaystylef\,\!}  的定義域內的點 ( t 0 ,   y 0 ) {\displaystyle(t_{0},\y_{0})\,\!}  稱為初始條件。

假若初值問題的一個解是函數 y {\displaystyley\,\!}  ，則 y {\displaystyley\,\!}  是微分方程式 y ′ ( t ) = f ( t ,   y ( t ) ) {\displaystyley'(t)=f(t,\y(t))\,\!}  的解，滿足 y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyley(t_{0})=y_{0}\,\!}  。

對於更高階的問題，可視 y {\displaystyle\mathbf{y}\,\!}  為向量。

每加高一個階，就増添一個分量給 y {\displaystyle\mathbf{y}\,\!}  。

解的存在性及唯一性編輯 對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t0及y0的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不動點定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。

這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不動點定理的一個特例。

日本數學家岡村博（日語：岡村博）找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在[1]。

有些情形，函數ƒ不是光滑函數，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。

皮亞諾存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。

不過此時無法證明解的唯一性[2][3]。

卡拉特歐多存在性定理（英語：Carathéodoryexistencetheorem）可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例編輯 例一一個簡單的範例是求解 y ′ = 0.85 y {\displaystyley'=0.85y}  及 y ( 0 ) = 19 {\displaystyley(0)=19}  ，要求出一個 y ( t ) {\displaystyley(t)}  滿足上述二式。

由於 y ′ = d y d t {\displaystyley'={\frac{dy}{dt}}}  ，因此 d y d t = 0.85 y {\displaystyle{\frac{dy}{dt}}=0.85y}  接下來重新整理方程式，使 y {\displaystyley}  在等式左邊， t {\displaystylet}  在等式右邊 d y y = 0.85 d t {\displaystyle{\frac{dy}{y}}=0.85dt}  再將等式二邊積分，會引入未知常數 B {\displaystyleB}   ln ⁡ | y | = 0.85 t + B {\displaystyle\ln|y|=0.85t+B}  消去 ln {\displaystyle\ln}   | y | = e B e 0.85 t {\displaystyle|y|=e^{B}e^{0.85t}}  令 C {\displaystyleC}  為一個新的未知常數， C = ± e B {\displaystyleC=\pme^{B}}  ，因此 y = C e 0.85 t {\displaystyley=Ce^{0.85t}}  現在需要找出 C {\displaystyleC}  的數值。

利用 y ( 0 ) = 19 {\displaystyley(0)=19}  的啟始條件，將 t {\displaystylet}  代入0， y {\displaystyley}  代入19 19 = C e 0.85 ∗ 0 {\displaystyle19=Ce^{0.85*0}}   C = 19 {\displaystyleC=19}  因此可得其解為 y ( t ) = 19 e 0.85 t {\displaystyley(t)=19e^{0.85t}}  . 例二 y ˙ + 3 y = 6 t + 5 , y ( 0 ) = 3 {\displaystyle{\dot{y}}+3y=6t+5,\qquady(0)=3}  利用拉普拉斯變換 s Y ( s ) − y ( 0 ) + 3 Y ( s ) = 6 s 2 + 5 s {\displaystylesY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac{6}{s^{2}}}+{\frac{5}{s}}}   ∴ Y ( s ) = y ( 0 ) s 2 + 5 s + 6 s 2 ( s + 3 ) {\displaystyle\thereforeY(s)={\frac{y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}}  利用部分分式分解 Y ( s ) = α s + β s 2 + γ s + 3 {\displaystyleY(s)={\frac{\alpha}{s}}+{\frac{\beta}{s^{2}}}+{\frac{\gamma}{s+3}}}   α = 1 , β = 2 , γ = y ( 0 ) − 1 {\displaystyle\alpha=1,\beta=2,\gamma=y(0)-1}   Y ( s ) = 1 s + 2 s 2 + y ( 0 ) − 1 s + 3 {\displaystyleY(s)={\frac{1}{s}}+{\frac{2}{s^{2}}}+{\frac{y(0)-1}{s+3}}}  拉普拉斯逆變換 y ( t ) = 2 e − 3 t + 2 t + 1 {\displaystyley(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}  參閱編輯 邊值問題 柯西問題參考資料編輯 ^Okamura,Hirosi.ConditionnécessaireetsuffisanteremplieparleséquationsdifférentiellesordinairessanspointsdePeano.Mem.Coll.Sci.Univ.KyotoSer.A.1942,24:21–28（法語）.  ^Coddington,EarlA.andLevinson,Norman.Theoryofordinarydifferentialequations.NewYork-Toronto-London:McGraw-HillBookCompany,Inc.1955. Theorem1.3 ^Robinson,JamesC.Infinite-dimensionaldynamicalsystems:AnintroductiontodissipativeparabolicPDEsandthetheoryofglobalattractors.Cambridge:CambridgeUniversityPress.2001.ISBN 0-521-63204-8. Theorem2.6 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=初值問題&oldid=63984080」