全微分方程式- 維基百科,自由的百科全書
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全微分方程式是常微分方程式的一種,它在物理學和工程學中廣泛使用。
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全微分方程式
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閱論編
全微分方程式是常微分方程式的一種,它在物理學和工程學中廣泛使用。
目次
1定義
1.1例子
2勢函數的存在
3全微分方程的解
4參見
5參考文獻
定義[編輯]
給定R2的一個單連通的開子集D和兩個在D內連續的函數I和J,那麼以下形式的一階常微分方程式
I
(
x
,
y
)
d
x
+
J
(
x
,
y
)
d
y
=
0
,
{\displaystyleI(x,y)\,\mathrm{d}x+J(x,y)\,\mathrm{d}y=0,\,\!}
稱為全微分方程式,如果存在一個連續可微的函數F,稱為勢函數,使得
∂
F
∂
x
(
x
,
y
)
=
I
{\displaystyle{\frac{\partialF}{\partialx}}(x,y)=I}
以及
∂
F
∂
y
(
x
,
y
)
=
J
.
{\displaystyle{\frac{\partialF}{\partialy}}(x,y)=J.}
「全微分方程式」的命名指的是函數的全導數。
對於函數
F
(
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
−
1
,
x
n
)
{\displaystyleF(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}
,全導數為:
d
F
d
x
0
=
∂
F
∂
x
0
+
∑
i
=
1
n
∂
F
∂
x
i
d
x
i
d
x
0
.
{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_{0}}}={\frac{\partialF}{\partialx_{0}}}+\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partialF}{\partialx_{i}}}{\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}x_{0}}}.}
例子[編輯]
函數
F
(
x
,
y
)
:=
1
2
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyleF(x,y):={\frac{1}{2}}(x^{2}+y^{2})}
是以下全微分方程式的勢函數。
x
x
′
+
y
y
′
=
0.
{\displaystylexx'+yy'=0.\,}
勢函數的存在[編輯]
在物理學的應用中,I和J通常不僅是連續的,也是連續可微的。
施瓦茨定理(也稱為克萊羅定理)提供了勢函數存在的一個必要條件。
對於定義在單連通集合上的微分方程式,這個條件也是充分的,我們便得出以下的定理:
給定以下形式的微分方程式:
I
(
x
,
y
)
d
x
+
J
(
x
,
y
)
d
y
=
0
,
{\displaystyleI(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!}
其中I和J在R2的單連通開子集D上是連續可微的,那麼勢函數F存在,若且唯若下式成立:
∂
I
∂
y
(
x
,
y
)
=
∂
J
∂
x
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle{\frac{\partialI}{\partialy}}(x,y)={\frac{\partialJ}{\partialx}}(x,y).}
全微分方程式的解[編輯]
給定一個定義在R2的單連通開子集D上的全微分方程式,其勢函數為F,那麼D內的可微函數f是微分方程式的解,若且唯若存在實數c,使得
F
(
x
,
f
(
x
)
)
=
c
.
{\displaystyleF(x,f(x))=c.\,}
對於初值問題
y
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyley(x_{0})=y_{0}\,}
我們可以用以下公式來尋找一個勢函數:
F
(
x
,
y
)
=
∫
x
0
x
I
(
t
,
y
0
)
d
t
+
∫
y
0
y
J
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyleF(x,y)=\int_{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int_{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.}
解方程式
F
(
x
,
y
)
=
c
{\displaystyleF(x,y)=c\,}
其中c是實數,我們便可以構造出所有的解。
參見[編輯]
全微分
里卡蒂方程式
伯努利微分方程式
柯西-歐拉方程式
克萊羅方程式
線性微分方程式
參考文獻[編輯]
Boyce,W.E.andDiPrima,R.C.ElementaryDifferentialEquationsandBoundaryValueProblems,4thed.NewYork:Wiley,1986.
Ross,C.C.§3.3inDifferentialEquations.NewYork:Springer-Verlag,2004.
Zwillinger,D.Ch.62inHandbookofDifferentialEquations.SanDiego,CA:AcademicPress,1997.
取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=全微分方程&oldid=52005415」
分類:微分方程
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