分數微積分- 維基百科，自由的百科全書

數學上，分數微積分（fractional calculus）是數學分析的一個分支，它研究微分算子 D = d d x {\displaystyle D={\frac {d}{dx}}} ... 利用重複積分的柯西公式，即：. 分數微積分 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 數學上，分數微積分（fractionalcalculus）是數學分析的一個分支，它研究微分算子 D = d d x {\displaystyleD={\frac{d}{dx}}} 和積分算子J的實數次冪的可能應用（通常不寫作I,以避免和其他I形符號產生混淆）。

在這個上下文中，冪指反覆應用，和 f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) {\displaystyle\,f^{2}(x)=f(f(x))} 中的平方意義相同。

例如，可以提出如何解釋如下符號的問題 D = D 1 2 {\displaystyle{\sqrt{D}}=D^{\frac{1}{2}}} 作為微分算子的平方根（半次操作），也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的， D n {\displaystyleD^{n}} 對於實數值的n，使得當n為整數時，若n>0,它等同於通常的冪n次操作，當n<0,它等同於n次積分J。

討論這個問題有幾個原因。

一個是，這樣冪Dn組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。

連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。

注意，分數是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數，但是分數微積分已成為習慣用法。

目次 1歷史緣由 2試探法 3分數微分在一個簡單函數上的應用 4拉普拉斯變換 5分數階積分 6分數階微分 7應用 8相關條目 9參考文獻 10外部連結 歷史緣由[編輯] 在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。

這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。

分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。

該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(OliverHeaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。

分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

試探法[編輯] 一個很自然的想法是問，是否存在一個算子 H {\displaystyleH} 起到半導數的作用，即使得： H 2 f ( x ) = D f ( x ) = d d x f ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyleH^{2}f(x)=Df(x)={\frac{d}{dx}}f(x)=f'(x)} 結論是：這樣的算子是存在的，對於任意 a > 0 {\displaystylea>0} ,存在一個算子 P {\displaystyleP} ,滿足： ( P a f ) ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle(P^{a}f)(x)=f'(x)} ， 或者換一個說法, d n y d x n {\displaystyle{\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}}} 的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n. 在這裡我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上.Γ函數的定義如下： n ! = Γ ( n + 1 ) {\displaystylen!=\Gamma(n+1)} ， 假設對函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} ( x > 0 ) {\displaystyle(x>0)} 在0到x上求積分，我們可以形式的定義積分算子J: ( J f ) ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle(Jf)(x)=\int_{0}^{x}f(t)\;dt} 重複這個過程，可得： ( J 2 f ) ( x ) = ∫ 0 x ( J f ) ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( s ) d s ) d t {\displaystyle(J^{2}f)(x)=\int_{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt} , 這個過程可以任意的重複下去。

利用重複積分的柯西公式，即： ( J n f ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle(J^{n}f)(x)={\frac{1}{(n-1)!}}\int_{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt} 我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。

直接利用 Γ {\displaystyle\Gamma} 函數將離散的階乘擴展為連續的函數。

我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式 ( J α f ) ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle(J^{\alpha}f)(x)={\frac{1}{\Gamma(\alpha)}}\int_{0}^{x}(x-t)^{\alpha-1}f(t)\;dt} 這個算子定義明確而且具有良好的性質。

可以證明J算子滿足如下關係 ( J α ) ( J β ) f = ( J β ) ( J α ) f = ( J α + β ) f = 1 Γ ( α + β ) ∫ 0 x ( x − t ) α + β − 1 f ( t ) d t {\displaystyle(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f={\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}}\int_{0}^{x}(x-t)^{\alpha+\beta-1}f(t)\;dt} 這個性質叫微分積分算符的半群性。

然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難，而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。

分數微分在一個簡單函數上的應用[編輯] 函數 f ( x ) = x {\displaystylef(x)=x} （藍色線條）的半導數（紫色線條）以及一階導數（紅色線條） 這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x（藍色），結果（綠色）在一般的積分（α=−1:y=x2/2，紫色）及一般的一次微分（α=+1:y=1，紅色）間連續變化。

假設有一個函數 f ( x ) = x k {\displaystylef(x)=x^{k}\;} 。

它的一階導數一般是： f ′ ( x ) = d d x f ( x ) = k x k − 1 {\displaystylef'(x)={\dfrac{d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;} 。

重複這一過程，得到更一般的結果： d a d x a x k = k ! ( k − a ) ! x k − a {\displaystyle{\dfrac{d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac{k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;} ，將階乘用伽瑪函數替換，可得： d a d x a x k = Γ ( k + 1 ) Γ ( k − a + 1 ) x k − a {\displaystyle{\dfrac{d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}}x^{k-a}\;} 。

當k=1,並且a=1/2時我們可以得到函數 x {\displaystylex} 的半導數： d 1 2 d x 1 2 x = Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 2 + 1 ) x 1 − 1 2 = 1 ! Γ ( 3 2 ) x 1 2 = 2 x 1 2 π {\displaystyle{\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}x={\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-{\frac{1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac{1}{2}}}={\dfrac{1!}{\Gamma({\frac{3}{2}})}}x^{\frac{1}{2}}={\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}}} 。

重複這一過程，得： d 1 2 d x 1 2 2 π − 1 2 x 1 2 = 2 π − 1 2 Γ ( 1 + 1 2 ) Γ ( 1 2 − 1 2 + 1 ) x 1 2 − 1 2 = 2 π − 1 2 Γ ( 3 2 ) Γ ( 1 ) x 0 = 2 π x 0 2 π 0 ! = 1 {\displaystyle{\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}2\pi^{-{\frac{1}{2}}}x^{\frac{1}{2}}=2\pi^{-{\frac{1}{2}}}{\dfrac{\Gamma(1+{\frac{1}{2}})}{\Gamma({\frac{1}{2}}-{\frac{1}{2}}+1)}}x^{{\frac{1}{2}}-{\frac{1}{2}}}=2\pi^{-{\frac{1}{2}}}{\dfrac{\Gamma({\frac{3}{2}})}{\Gamma(1)}}x^{0}={\dfrac{2{\sqrt{\pi}}x^{0}}{2{\sqrt{\pi}}0!}}=1} ，這正是期望的結果： ( d 1 2 d x 1 2 d 1 2 d x 1 2 ) x = d d x x = 1 {\displaystyle\left({\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}{\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}\right)x={\dfrac{d}{dx}}x=1} 。

以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次。

舉個例子， ( 1 + i ) {\displaystyle(1+i)} 階導數作用後， ( 1 − i ) {\displaystyle(1-i)} 階導數再作用，可以得到二階導數。

同時如果a為負則可為求積分。

分數微分可以得到上述相同的結果（當 0 < α < 1 {\displaystyle0