[數學分析] 多變數函數的偏導數 - 謝宗翰的隨筆

對任意多變數連續函數而言，儘管偏導數存在並不保證全導數存在：但反之則成立： ... 可導(因為γ 為線性方程 ) 且f 亦在 (a,b) 可導(由假設可知) ；故可利用Chain Rule ... 跳到主要內容 [數學分析]多變數函數的偏導數 12月15,2010 令$E\subset\mathbb{R}^n$為openset。

考慮函數${\bff}:E\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$。

令$\{{\bfe}_1,...,{\bfe}_n\}$與$\{{\bfu}_1,...,{\bfu}_m\}$各為$\mathbb{R}^n$與$\mathbb{R}^m$的standardbases。

則我們可以將$\bff$以分量(components)形式$f_i$表示：對任意${\bfx}\inE$， \[ {\bff}({\bfx}):=\sum_{i=1}^mf_i({\bfx}){\bfu}_i=f_1{\bfu}_1+...+f_m{\bfu}_m \]或者${f_i}\left({\bf{x}}\right)={\bf{f}}\left({\bf{x}}\right)\cdot{{\bf{u}}_i},i=1,...,m$ 對任意${\bfx}\inE$，$1\lei\lem$且$1\lej\len$我們可以定義偏導數(PartialDerivative) \[\left({{D_j}{f_i}}\right)\left({\bf{x}}\right):=\mathop{\lim}\limits_{t\to0}\frac{{{f_i}\left({{\bf{x}}+t{{\bf{e}}_j}}\right)-{f_i}\left({\bf{x}}\right)}}{t}\]若上述極限存在。

Comments: 1.注意到$f_i({\bfx})=f_i(x_1,...,x_n)$故$D_jf_i$表示了固定其餘變數，僅對$f_i$中的$x_j$求導：故我們記做 \[ D_jf_i({\bfx}):=\frac{\partialf_i}{\partialx_j} \]並且稱$D_jf_i$為偏導數(PartialDerivative) 2.對任意多變數連續函數而言，儘管偏導數存在並不保證全導數存在：但反之則成立：亦即若$\bff$在點$\bfx$上可微，則其在$\bfx$處的偏導數存在：且偏導數完全決定了lineartransformation${\bff}'({\bfx})$ 3.同2偏導數存在不保證連續。

以下我們看個例子： Example 若$f(0,0)=(0,0)$且若$(x,y)\neq(0,0)$ \[ f(x,y):=\frac{xy}{x^2+y^2} \](a)試證$(D_1f)(x,y)$與$D_2f(x,y)$在$\mathbb{R}^2$中每一點皆存在。

(b)試證$f$在$(0,0)$處並不連續。

Proof: 注意到$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^1$；故我們可利用偏導數定義計算 $(D_1f)(x,y)$與$D_2f(x,y)$：首先令$(x,y)\neq(0,0)$可知 \[\begin{array}{l} {D_1}f\left({x,y}\right)=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{f\left({x+h,y}\right)-f\left({x,y}\right)}}{h}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{\frac{{\left({x+h}\right)y}}{{{{\left({x+h}\right)}^2}+{y^2}}}-\frac{{xy}}{{{x^2}+{y^2}}}}}{h}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{y\left[{{y^2}-x\left({x+h}\right)}\right]}}{{\left({{{\left({x+h}\right)}^2}+{y^2}}\right)\left({{x^2}+{y^2}}\right)}}=\frac{{y\left({{y^2}-{x^2}}\right)}}{{{{\left({{x^2}+{y^2}}\right)}^2}}} \end{array}\]同理， \[{D_2}f\left({x,y}\right)=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{f\left({x,y+h}\right)-f\left({x,y}\right)}}{h}{\rm{=}}\frac{{x\left({{y^2}-{x^2}}\right)}}{{{{\left({{x^2}+{y^2}}\right)}^2}}}\]上述兩偏導數在$\mathbb{R}^2\setminus(0,0)$處皆存在。

接著我們計算$(x,y)=(0,0)$處的偏導數。

\[\left\{\begin{array}{l} {D_1}f\left({0,0}\right)=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{f\left({0+h,0}\right)-f\left({0,0}\right)}}{h}=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{0-0}}{h}=0\\ {D_2}f\left({0,0}\right)=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{f\left({0,0+h}\right)-f\left({0,0}\right)}}{h}=\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\frac{{0-0}}{h}=0 \end{array}\right.\] (b)我們要證$f$在${\bf0}:=(0,0)$處並不連續。

亦即對${\bf0}$而言，要證明存在$\varepsilon>0$使得對任意$\delta>0$存在${\bfx}:=(x,y)\neq0$使得 \[ ||{\bfx}-{\bf0}||0$與${\bfx}:=(x,y)=(\delta/2,\delta/2)\neq0$則可知 \[{\rm{but|}}f({\bf{x}})-f({\bf{0}})|=\left|{\frac{{\frac{\delta}{2}\frac{\delta}{2}}}{{{{\frac{\delta}{2}}^2}+{{\frac{\delta}{2}}^2}}}-0}\right|=\left|{\frac{1}{2}-0}\right|=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}=\varepsilon\] ============= Theorem1: 考慮${\bff}:E\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$且$\bff$在點${\bfx}\inE$處可導，則偏導數$(D_jf_i)({\bfx})$存在且偏導數完全決定了${\bff}'({\bfx})$：亦即 \[{\bf{f}}'\left({\bf{x}}\right){{\bf{e}}_j}=\sum\limits_{i=1}^m{\left({{D_j}{f_i}}\right)\left({\bf{x}}\right){{\bf{u}}_i}},\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\left({1\lej\len}\right)\]============= Proof:omitted. 上述定理可以讓我們將Linearoperator${\bff}'({\bfx})$表達成矩陣的形式： \[{\bf{f}}'\left({\bf{x}}\right)={\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}{f_1}}&{{D_2}{f_1}}&\cdots&{{D_n}{f_1}}\\ {{D_1}{f_2}}&{{D_2}{f_2}}&\cdots&{{D_n}{f_2}}\\  \vdots&{}&\ddots&\vdots\\ {{D_1}{f_m}}&{}&\cdots&{{D_n}{f_m}} \end{array}}\right]_{n\timesm}}\] 現在我們看個重要的結果： ============= Theorem2:假設$\bff$為map由convexopenset$E\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，且$\bff$在$E$上可導，且存在$M\in\mathbb{R}$使得對任意$\bfx$$\inE$，其operatornorm$||{\bff}'({\bfx})||\leM$則對任意$\bfa,b$$\inE$， \[||{\bf{f}}({\bf{b}})-{\bf{f}}\left({\bf{a}}\right)||\leM||{\bf{b}}-{\bf{a}}|| \]============= Proof: 我們要證明$||{\bf{f}}({\bf{b}})-{\bf{f}}\left({\bf{a}}\right)||\leM||{\bf{b}}-{\bf{a}}||$ 注意到$E$為convexopenset，故我們可利用convexity定義，現在對任意點 $\bfx:=\gamma(t)$$\inE$，與任意$t\in[0,1]$可取 \[{\bf{x}}:=\gamma(t)=\left({1-t}\right){\bf{a}}+t{\bf{b}}\]現在若我們定義${\bf{g}}\left(t\right):={\bf{f}}\left({\gamma\left(t\right)}\right)$則由於$\gamma$在$(a,b)$可導(因為$\gamma$為線性方程 )且$\bff$亦在 $(a,b)$可導(由假設可知)；故可利用ChainRule \[\begin{array}{l} {\bf{g}}'\left(t\right):={\bf{f}}'\left({\gamma\left(t\right)}\right)\gamma'\left(t\right)={\bf{f}}'\left({\gamma\left(t\right)}\right)\left({{\bf{b}}-{\bf{a}}}\right)\\  \Rightarrow\left\|{{\bf{g}}'\left(t\right)}\right\|\le\left\|{{\bf{f}}'\left({\gamma\left(t\right)}\right)}\right\|\left\|{\left({{\bf{b}}-{\bf{a}}}\right)}\right\|\leM\left\|{\left({{\bf{b}}-{\bf{a}}}\right)}\right\| \end{array}\]上式對$t\in[0,1]$成立，故由MeanValueTheorem可知 \[\left\|{{\bf{g}}\left(1\right)-{\bf{g}}\left(0\right)}\right\|\leM\left\|{\left({{\bf{b}}-{\bf{a}}}\right)}\right\|\\\\ (\star) \]但注意到 \[{\bf{g}}\left(t\right):={\bf{f}}\left({\gamma\left(t\right)}\right)\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} {\bf{g}}\left(1\right):={\bf{f}}\left({\gamma\left(1\right)}\right)={\bf{f}}\left({\bf{b}}\right)\\ {\bf{g}}\left(0\right):={\bf{f}}\left({\gamma\left(0\right)}\right)={\bf{f}}\left({\bf{a}}\right) \end{array}\right.\]故$(\star)$可改寫為$\left\|{{\bf{f}}\left({\bf{b}}\right)-{\bf{f}}\left({\bf{a}}\right)}\right\|\leM\left\|{\left({{\bf{b}}-{\bf{a}}}\right)}\right\|$$\\\\\\square$ Corollary: 若$\bff'$$({\bfx})=\bf0$對任意$\bfx$$\inE$，則$\bff$為常數。

Proof: 要證明$M=0$即可。

但注意到前述 Theorem中對於$M$假設亦包含$0$故證畢。

  現在我們可以開始將導數與偏導數之間性質做連結，注意到如果一個函數的導數存在且該導數連續，我們是否可以說其偏導數存在且連續呢?同樣的如果偏導數存在且連續，可否說函數的導數存在且連續?此答案記做下面的定理Theorem4 不過在給出Theorem4之前，我們需要一些定義何謂導數存在且導數連續： =========== Definition:fis$C^1$function 考慮函數$\bff$$E\to\mathbb{R}^m$在$E$上可導且$\bff'$$:E\toL(\mathbb{R^n},\mathbb{R}^m)$為連續函數，則我們說此函數$\bff$$\inC^1(E)$。

Definition:f'iscontinuous 我們稱 函數$\bf f'$ $:E\toL(\mathbb{R^n},\mathbb{R}^m)$  為連續函數若下列條件成立： 對任意$\bfx$$\inE$，且任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$使得對$\bfy$$\inE$，我們有 \[||{\bf{x}}-{\bf{y}}||