讀後感— 費馬最後定理. 這麼說好了 - Medium

這麼說好了，就算真的解開費馬最後定理，世界也不會變得更好，也沒辦法實際解決問題。

僅管如此世界上有太多數學家試圖證明一些或許根本沒有用處的定理 ... GetunlimitedaccessOpeninappHomeNotificationsListsStoriesWrite讀後感—費馬最後定理前言這本書，是四年前Denny離職時送給我的書。

雖然我不知道為什麼是送這本，不過我想應該有它的含義在裡頭，但也有可能只是書櫃隨便挑一本，不管怎樣，我還是滿懷感激地收下這本書。

當初雖然想要找時間看，但因為各種原因耽擱，只有概略翻翻一些章節，再加上自己也逐漸淡忘了。

這本書就被我放在書櫃的某個地方。

直到有一天，當我在寫題（633-sum-of-square-numbers）的時候，突然想起這不是費瑪定理系列之一嗎？才恍然想到這本書，決定一口氣把它看完。

我其實很不喜歡純粹的數論，因為沒辦法真的解決問題。

這麼說好了，就算真的解開費馬最後定理，世界也不會變得更好，也沒辦法實際解決問題。

僅管如此世界上有太多數學家試圖證明一些或許根本沒有用處的定理了。

但是那又怎樣，現在沒辦法解決問題不代表以後不行，而且何必所有定理都要拿來解決實際的問題呢？以前我大概會覺得他們很傻，現在看完這本書，仍然覺得他們很傻，但用既有的知識來尋找問題的答案，這樣子的態度是值得令人學習的。

而且本來世界上就有很多事對世界不會造成太大影響了，何必要求什麼事都要有用？同時慶幸我們身處在這個年代，數學、科技、計算機的發展都相對健全，求知的工具又多了好幾個。

另外本書涉及的數學理論是我看完書後寫出來的，可能理解上有不足或錯誤的部分，歡迎指正。

TL;DR費瑪最後定理有解開嗎？有所以是有解還是無解？在n>2時無解費瑪最後定理是什麼？在講費馬最後定理之前，我們先來瞧瞧費馬最後定理是怎麼跑出來的。

我們要先聊聊畢達哥拉斯這位人物。

他曾經創立了「畢達哥拉斯兄弟會」，基本上就是一個宗教組織，信仰的對象是整數、分數。

因為他們認為宇宙萬物都是數，而基本上入會時需要宣誓不得將成員發現的定理公諸於世，有人曾經因為洩密而被淹死。

畢達哥拉斯定理告訴我們a^2+b^2=c^2對於所有的直角三角形都會成立。

（其中c為長邊、a,b為短邊）調皮的費瑪在《丟番圖算數》寫下這個定理，卻寫下「我有這個命題有絕妙的證明，但這裡空間太小我寫不下」a^n+b^n=c^n在n>2的時候沒有正整數解。

事實上，費瑪並不喜歡公開自己的數學發現，因為他不喜歡別人對他的證明指指點點的，同時又喜歡說自己已經解開了某某難題。

說實在的，這是個很棒的行銷手法，因為人們會不禁好奇，這謎題到底是怎麼解開的。

然後就引起了300年歷史的數學家之爭。

質數與費瑪最後定理質數與模數息息相關，卻也是讓我很頭痛的兩個數。

但其實質數卻是少數純數論當中實際有用途的。

以著名的RSA為例，就是建立在質數與模數的基礎上。

舉例來說我想加密一條訊息，但不想被人輕易破解，這個方法的方式是，用兩個很大的質數相乘，得出的數字當作公鑰（可以公佈出來），而另外兩個數字則當作保密內容。

為什麼這樣可以運作呢？因為質數的特性，要知道這個數是哪兩個質數相乘是非常困難的一件事。

那麼與費瑪大定理又有什麼關聯呢？根據質因數定理，所有的數都可以被表示成質數的排列組合，什麼意思？例如：12的因數為1,2,3,4,6,12，可以表達為12=2^2*3剛好可以得到所有因數。

所以我們只要證明n為質數的情況無解，也就間接證明了其他數字無解了，這樣一來功夫不就少很多了嗎！這個想法很棒，但可惜的是，質數是無限的，儘管這項發現對解謎費瑪大定理有很大的進展，但仍然沒辦法。

淺談證明對於數學證明，主要有兩種證明法，一個是歸納法，也就是先證明其中一個例子，這個例子可以套用到下個例子，像骨牌一樣；另外一種是反證法，也就是先假設與理論相反的結果，在導到一個矛盾的情況來證明這個定理是對的。

對於n>2的情況下，我們並沒有辦法說明n=3的情況可以套用到n=n+1上；而如果要反證的話，我們就要證明如果存在一組解可以解出費馬大定理，必定會造成某種矛盾，所以無解。

曾經救人一命的費瑪最後定理斯凱爾這位數學家，因為和自己心愛的女生告白被拒，準備結束自己的生命。

凡事都要規劃好的他也規劃了自己的死期，那一天他提前把該做的事做完，剩下的時間就來看看數學的書。

當他看到這個證明時，停下來想了想，發現好像有錯，於是著手寫證明，寫著寫著就錯過死期了，他也在過程中找回對數學的熱愛，於是決定不自殺，並且創立一個獎項給能夠破解費馬大定理的人。

哈代：我並沒有實際用處的數學理論，脫離數學圈，它並沒有讓整個世界舒適一些。

但又何必呢？追求解答只是出於本身的慾望而已。

講到這裡，有一位很有名的數學家兼哲學家兼邏輯家羅素說：你能在浪費時間中獲得樂趣，就不是浪費時間。

圖靈機出現圖靈機出現後，對費瑪最後定理又有很大的進展了，因為數學家可以利用機器來做更大量的運算，但仍不能夠證明費瑪最後定理。

原因很簡單，就算你說n=1000是正確的，你也不能說n=1001是正確的。

儘管機器能夠做大量運算，仍然無法解開這個問題。

模數與橢圓公式為了求解橢圓公式的問題，數學家試著把問題簡化。

其中，谷山猜想發現，橢圓方程式跟模形式有緊密的關聯。

這是一項驚人的發現，但要如何證明他們真的有關聯呢？同時，佛賴發現了更驚人的事實，費馬最後定理可以轉變為一個橢圓形公式。

這指出兩件事：如果費馬最後定理是錯的話，那麼佛賴的方程式一定有解，如果有解，代表谷山猜想是錯的。

如果費馬最後定理是對的話，代表佛賴的方程式不存在，代表費馬最後定理沒有解。

這件事驚為天人，因為我們只要證明了谷山志村猜想，就可以間接證明費瑪最後定理。

也吸引了許多數學家著手解題，費瑪最後定理竟然和橢圓公式以及模數看似不著邊際的領域有緊密的關聯。

安德魯・懷爾斯這位數學家決定秘密進行費瑪最後定理的研究。

最後終於證明了橢圓方程式和模形式之間的關係。

這樣說有點輕描淡寫，實際上在解題時仍然有許多難關，前後花了近十年才終於解開這道300多年的謎題，同時也使用了當時比較現代的數學理論以及證明方式（如群論等）。

他在1993年陸續以三場演說來發表他的證明，但事先也沒有讓人知道，聽眾們卻發現他的目的，導致後來的演講觀眾都大爆滿。

最後提交證明審查之後，評審發現了一個小錯誤，導致這個證明並不完整。

懷爾斯最後又花了一年，才終於找到突破口，把錯誤給補起來。

成功解開了費馬最後定理。

結論當然這本書裡頭還有更多故事以及一些數學理論介紹，還有其他曾經挑戰過費瑪最後定理的數學家，這邊就不一一列出了。

數學的確很迷人，我說的並不是那些死板板的知識而已，而是背後的過程和含義。

為什麼數學家願意窮盡生命去做這件事？其實答案就跟一般人差不多，單純喜歡做這件事而已，何必要有冠冕堂皇的理由？看玩三藍一棕的TED演說後，讓我有更深的感受，有時候我們常常問：「嘿，學這個有什麼用？」Themostusefulmathyou’lleverfindoryoucanteachhasitsoriginandsomeonewhoisjustlookingforagoodstory.那些現在看起來很「有用」的數學，都是當時某個人（某群人）的興趣堆積出來的。

他們甚至沒有什麼目的性，可能就只是為了好玩而已。

能在浪費時間中獲得樂趣，就不是浪費時間。

—羅素雖然話是這麼說啦，但數學還是有很多有用處的地方，像是PCA降維可以找人臉特徵，原理就是建立在奇異值分解上；要辨別兩個向量的相似度，可以用餘弦定理算夾角；要用程式畫一個時鐘需要用三角函數等等，都是非常實際的例子。

看完這本書之後我的數學可能還是不會變好，但對於知識的追求我們都應該抱持著謙虛的態度。

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