阿林談微積分(第3 頁)

多數的自然定律，都是以微分方程式的形式表示出來。

「以上是由微分的基本定義，而介紹它可能在各門科學的應用。

在數學本身，也有許多應用。

最 ...   　1│2│3　 阿林談微積分 （第3頁） 曹亮吉   首頁|搜尋 ．原載於科學月刊第一卷第四、六、七期，分三期刊出 ．作者當時任教於台大數學系 ‧對外搜尋關鍵字   下篇 「微分和積分的關係是怎麼回事?你好像時常 提及。

」小華忍不住插口。

「哦!因為這兩者間關係的定理太重要了。

本 質上，微分和積分是反運算，就好比乘法與除法互 為反運算似的。

表面看來，微分是求變化，求曲線 的切線斜率，而積分是求面積，是一種和，二者彷 彿風馬牛不相干;如今卻發現他們的關係竟是這麼密切。

這個發現本身便足以令人讚嘆、欣賞，不但 是意外發現的樂趣，其美妙的關連更如面對一幅名畫， 或聆聽一曲交響樂。

」阿林愈講愈起勁了。

「到底是怎樣的反運算關係?」小華就愛追根究底。

「要回答這個問題，還是用個實例來說明，就清楚了。

我們已知道，x3在x0的變化率是3x02 -插一句話，這個變化率3x02顯然會因x0的不同而不同。

換言之，變化率還是x0的函數，我們稱 它作導來函數。

於是從任何一個函數f(x)， 我們可以對應於另一偶函數f'(x)或寫作 因此， 的導來函數便是x2。

但上次我們曾算過，把x2從0積分到b的面積正是 ， 這個b如變化，面積便也跟著變化，所以它也是個函數 。

於是一個函數，也可對應另一個"積分函數"。

所謂"對應"，就是一種運算。

你看微分和積分 這兩種運算正是互為反運算呢。

就是說，把x2先用積分運算， 對應出一個新函數，再用微分運算， 使得回原先的函數x2;同樣，也可先作微分運算再求積分。

這末一來，想求一個函數的積分，只需先看它 是什麼函數的導來函數，便可算出了。

」 「這還是不太方便啊!」 「不錯。

就計算上來說，積分還不如微分方便。

在微分中，只要寫得出式子，而且它的極限值存在， 一定可算出它的導來函數;可是許多簡單的函數， 它的積分函數都不易求出。

舉個最簡單的例子: xn的導來函數是nxn-1。

這個n不但可以是1,2,3,......等自然數， 也可以是0，負數，甚至分數或任何實數。

但xn的積分函數 (你自己證證這個式子)， 當n=-1時便沒有意義了(0不能當除數)。

」 「那麼n=-1時積分就不存在了?」 「當然不對。

積分是求面積。

我們如把這個函 數 畫出來(是一條雙曲線): 顯然，從a到b的斜線面積是存在的。

」 「那到底怎麼求呢?」 「求法還是得先找出是什麼函數的導來函數。

這個積分函數已不是xn的形式，它甚至不是多 項式分式或帶有根號、指數等的代數函數，而是個 超越函數-對數函數。

你看，一經積分， 可把代數函數積出超越函數來。

這還算簡單。

有許多函數根本就找不出稍為熟 悉的積分函數。

遇到這種情形，就只好用各種近似法， 或查表，或用電子計算機來算了。

「雖然如此，但畢竟積分遇有路可循，而且常 見的函數有一大半部可用微積分的關係來求出它們 的積分函數。

「還有一個有趣的現象。

積分後的函數可能愈 來愈古怪。

愈來愈"超越"，微分則恰好相反， 它往往把"超越"或古怪的函數平凡化了。

因此積分 會造出許多新的函數出來，函數的領域便拓寬了， 數學家可研究的材料便增多了。

較易計算的微分便 沒有這份本事。

「更有趣的事是:微分雖然較易計算，但限制 反而較大。

可以微分的函數一定可別積分。

但反之。

卻不成立-許多能積分的函數卻不能微分，因此 兩者雖是互為反運算，適用的條件卻不一致。

最簡單的例子就是"階梯函數"(如圖): 這種函數的面積顯然存住，但在x1,x2點是不連續的， 在那些點就不能求它的變化率-也就是不能微分了。

連繽的函數不一定可微分，但卻一定能積 分-甚至不連繽的函數有時都可積分呢!」說到這裏， 阿林停頓了一下。

小明和小華聽得正出神， 一時整個氣氛凍結成一團。

「好了，微分的重要觀念以及微分、積分間的 關係已大致談過了，你們有沒有其他問題呢?」 小明搖搖頭，一副飽飽倦倦的模樣，正如剛吃 下一席大拜拜，一時消化不了。

「最好請你介紹些 具體的應用，幫助消化吸收。

」 「微分的應用太廣了,......」 「為什麼它有這麼大的應用?」阿林才開口，小華就插嘴了。

「這個問題很好。

微分應用太廣了，我正愁不 知從何談起呢。

現在我們可以根據它「為什麼」有 重大應用的原因為綱目，來介紹它。

」 小華得意地向小明扮個鬼臉。

剛才他插嘴時， 小明顯得滿臉不耐煩。

「首先是微分的根本定義:微分是研究變化的 學問。

我們這個世界是動態的，任何一種現象都會 因時間而變化-動的車子，它的位置會隨時間的 變化，夏天的溫度不同於春天，樹木會長大，這個 月的投票比上個月漲了，你喜歡的那個女孩子今天 變得更漂亮等等，所謂動態就是隨時間而變化。

既 然一切都會隨時間而變化，研究變化的微分學，便 成為不可或缺的工具。

「甚至靜態的現象，例如空氣的密度會隨地點與高度而變化，地表在不同地點的起伏不同，一個彈簧拉遠拉近，其作用力就有變化等等，也都會牽涉到變化。

從以上的分析不難知道，微分是所有科學的基礎，只要那些科學所研究的對象，能移用數量表示。

「舉個更具體的情況，研究對象的性質，一受外來影響，很自然地會產生變化，好比推你一把，你就會動一動；用火烤烤，蕃薯就香了；戰爭停停打打，股票市場便隨之波波動動等等。

科學家研究這些現象，首先要把研究對象的性質以及外來影響 "數量化"，就是說各找出一個函數來；其次要找出性質變化和外來影響的關係，這等於發掘自然定律或法則，這樣的定津通常是個方程式，包含了外來影響函數， 以及性質函數的導來函數(變化率)。

這種包含微分的式子，便叫做微分方程式。

多數的自然定律，都是以微分方程式的形式表示出來。

「以上是由微分的基本定義，而介紹它可能在 各門科學的應用。

在數學本身，也有許多應用。

最 重要是由它和積分的關係，藉它"容易計算"的性質， 使積分成了一門極有用的工具。

另一項重大用途， 是函數曲線的研究。

「一個函數曲線，如果只用代數的方法，我們 通常只能求出它的根，即找出所有的x,使f(x)=0 如果把函數圖解出來，譬如它的形狀可能如下: 我們等於說只求出x1,x2,x3等三點。

至於這個曲 線在其他各地的情形如何,我們完全不知,除非我 們把每一點的值都算出來;但這顯然行不通,因為總共有無數點呢!」 「但我們可以每隔一單位長度,求一次值。

」 小明建議說。

「這當然是個辦法。

但一來太麻煩了-你通 常要算十來個數值以上-,二來有時會行不通。

譬如有個函數f(x)，它在x=0,1,2,3,的位置如下圖: 你說曲線應如何連起來呢?」阿林目視小明。

「這還不容易,它當然應該像f1(x)」: 「你怎麼知道它不在1和2之間彎一次,像f2(x)那樣呢?或甚至 大彎若干次,像f3(x)那樣?」 「這個......,這個......,好像不太可能嘛!」 小明被問住了。

「當然可能啊!有什麼理由說是不可能?」 「......」 「可見分別求1,2,3,......的數值並不可靠。

即使求0.1,0.2,......,0.9,1,1.1,......也未必可靠。

它照樣沒有保證，反而增加一些不必要的嚕囌計算。

問題在於我們不知兩點之間，譬如1和2間，或 0.3及0.4之間函數會怎麼變。

即使再把間隔取得更小， 也還是個間隔，依舊不知函數在這中間會不 會上下跳躍幾次?先上升?或先下降等等。

」 「那怎麼辦呢?」 「你想，要知道這其間的變化情形，該怎麼辦?」 「用微積分!」小華急應著。

「對啦!變化的研究當然該用微積分，我們困 難在於不知其間的升升降降，盲目地算出在1,2,3,...... 等固定的點是毫無意義的。

我們該找出關鍵的幾點......」 「我知道了，是不是該算出曲線從上升變成下 降或從下降變成上升的那幾點?」小華靈機一動。

「完全正確!」,阿林十分讚許:「這些點叫做 函數的局部極大或極小點。

現在問題是該如何去求它們呢?」 「用微分......」 「當然用微分。

但要如何用法?」阿林停了一 下，看看沒有反應:「給你們一些提示。

在這些極 大或極小點，函數的變化率是多少?或者說，切線的斜率是多少?」 「切線好像是平平的直線。

」 「對啦!水平線的斜率是0，就是說變化率為0。

想想看，變化率如果是大於0，那表示函數值是 愈來愈大,或者曲線是上升,如圖甲: 如果小於0，就是愈來愈大，或是曲線下降，如圖乙。

現在是由升而降(或由降而升),顯然不會是 大於0或小於0。

只好等於0了。

「所以，我們只需求導來函數，算出這函數等 於0的值，便就是所要的極大極小值了。

算出這些值來， 函數曲線便可運出來，不用擔心其間會再曲曲折折了。

」 說到這兒，看到小華用手掩住口，打了個哈欠。

「好了,以上告訴我們如何用微分來研究曲線的一個例子。

它當然還有其他更多的應用，可更正確 告訴我們曲線的詳情。

但原理都差不多，我們不再詳舉了。

以後有機會再談罷。

」阿林結束了他的討論。

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