2.7導數的定義及基本性質

微分中的最主要想法就是導數的概念。

如同積分是起源於幾何問題中的求面積，導數也是起源於幾何學中。

例如，求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。

導數的定義及基本性質 　         微分中的最主要想法就是導數的概念。

如同積分是起源於幾何問題中的求面積，導數也是起源於幾何學中。

例如，求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。

但不像積分起源的如此早，遲至十七世紀初費馬欲決定某些函數之極大及極小值，才有了導數的概念。

　 a 定義. 函數f在x 之導數，以 表之，其定義為 ， 只要上述極限存在。

又稱 f在x 之變化率。

若上式之極限存在，便稱f 在x可微。

若f 在定義域中每點皆可微，則稱f 為一可微函數，或說f 可微。

若f 在x連續，則，，分別稱為f 在x之右導數及左導數，二者也皆稱為單側導數。

又若，且 ，則稱f 在x之導數（因∞並非一實數，故此時導數並不存在）。

同理可定義。

a 例1. 依定義求下列各函數之導數，並寫出 之定義域。

  （1） ，（2） ，（3） 。

  a 例2. 依定義求下列各函數之導數。

  （1） ，其中n 為一正整數。

（2） 。

  a 例3.令 ，求 。

   a 定理. 設函數f在x 可微，則f在x 連續。

a         可微是一個比連續還強的條件，若知一函數在某點可微，便知此函數在該點亦連續。

一在某點 x 可微之函數經微分後所得之函數，不一定仍在x 可微，甚至也不一定在x 連續。

導數為一新的函數，原來函數有的性質導數不一定會有。

         導數也可由幾何來解釋。

，表在 之圖形上，連接(a,f(a)) 與 (a+h,f(a+h)) 二點之直線（稱為割線）之斜率。

令 ，也就是讓 a+h一直接近 a，若前述割線斜率之極限存在，則極限時的割線就視為在 (a,f(a))之切線。

a 定義. 在y=f(x) 之圖形上，過一點(a,f (a))之切線為 （1）過 (a,f(a))且斜率為之直線，若存在； （2）直線 x=a，若 。

除了（1）或（2）的情形，圖形在(a,f (a))之切線不存在。

a        在 之圖形上，過點 (0,0)之切線方程式為x =0。

另外，不難看出在上述定義中（1）的情況，切線方程式為 。

至於在 (a,f(a))之法線的定義為過 (a,f(a))且與切線垂直之直線。

故若，則法線斜率為，且方程式為 。

若 f '(a) =0，則法線為垂直線x=0；若切線為垂直線 x=0，則法線為水平線y =f(a)。

a 例 4.求在之圖形上，過點 (2,4)之切線及法線。

  a 定理. 設二函數f、g 有相同之定義域，且設f、g 皆在某一點x可微。

則 f+g,f-g ,fg,f/g皆在x 可微（對於f/ g，g(x) 須不為0）。

又此時  （1） ， （2） ， （3） ， （4） 。

a 例 5.（1）設 ， ， ，求。

          （2） 設 ， ，其中 為一有理數，求。

a 例 6.設 求。

  a         本單元最後，我們對微分的符號做一些補充說明。

        前面採用的記號為Lagrange (1736-1812) 在十八世紀末所引進。

此記號強調微分後得到一新的函數，而在x之值以表之。

若令，則也可用來表示導數。

由於仍為一函數，故對再微分可得到二階導數。

而之導數便是三階導數，即。

一般而言，或以表之。

只要所得之函數仍可微，便可繼續微分，而得下一階導數，這些統稱高階導數。

Lagrange 的符號與牛頓所採用的差異並不大。

在某些地方，如物理上的速度及加速度仍採用牛頓的符號。

        另外尚有一些符號，如在西元1800年，Arbogast (1759-1803)，以表 f之導數，此符號也普遍地被使用。

符號 D 便稱為一微分運算，此符號告訴我們為一由 f經微分後得到的新函數。

高階導數則以表之。

而在x之值以 表之。

但要留意，為二次微分，而不是。

        萊布尼茲發展出一套與前面所提迴然不同的符號。

令，他以 表示，並稱之為差分商，即以表，表h。

符號稱為差分運算。

在極限時，即令，差分商趨近至，萊布尼茲以 表此極限，即 。

利用萊布尼茲的符號，有下述表示法： 。

a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 導數的定義及基本性質。

微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。