除法定則- 維基百科,自由的百科全書
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除法定則[編輯] ; 微分的線性 · linearity of differentiation ; 萊布尼茲記號 · Leibniz's_notation ; 廣義萊布尼茨定則 · General Leibniz rule ; Faà di Bruno公式 · Faà di ...
除法定則
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閱論編
除法定則或商定則(英語:Quotientrule)是數學中關於兩個函數的商的導數的一個計算定則。
若已知兩個可導函數g,h及其導數g',h',且h(x)≠0,則它們的商
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystylef(x)={\frac{g(x)}{h(x)}}}
的導數為:
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
[
h
(
x
)
]
2
{\displaystylef'(x)={\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
目次
1例子
2證明
2.1從牛頓差商推出
2.2從乘積法則推出
2.3從複合函數求導法則推出
3參見
例子[編輯]
4
x
−
2
x
2
+
1
{\displaystyle{\frac{4x-2}{x^{2}+1}}}
的導數為:
d
d
x
(
4
x
−
2
x
2
+
1
)
{\displaystyle{\frac{d}{dx}}\left({\frac{4x-2}{x^{2}+1}}\right)}
=
(
x
2
+
1
)
(
4
)
−
(
4
x
−
2
)
(
2
x
)
(
x
2
+
1
)
2
{\displaystyle={\frac{(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}}
=
(
4
x
2
+
4
)
−
(
8
x
2
−
4
x
)
(
x
2
+
1
)
2
{\displaystyle={\frac{(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}}
=
−
4
x
2
+
4
x
+
4
(
x
2
+
1
)
2
{\displaystyle={\frac{-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}}
f
(
x
)
=
2
x
2
x
3
{\displaystylef(x)={\frac{2x^{2}}{x^{3}}}}
的導數為:
f
′
(
x
)
{\displaystylef'(x)\,}
=
(
4
x
⋅
x
3
)
−
(
2
x
2
⋅
3
x
2
)
(
x
3
)
2
{\displaystyle={\frac{\left(4x\cdotx^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}}
=
4
x
4
−
6
x
4
x
6
{\displaystyle={\frac{4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}}
=
−
2
x
4
x
6
{\displaystyle={\frac{-2x^{4}}{x^{6}}}}
=
−
2
x
2
{\displaystyle=-{\frac{2}{x^{2}}}}
證明[編輯]
從牛頓差商推出[編輯]
設
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystylef(x)={\tfrac{g(x)}{h(x)}}}
,
h
(
x
)
≠
0
{\displaystyleh(x)\neq0}
,且
g
{\displaystyleg}
和
h
{\displaystyleh}
均可導。
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
Δ
x
{\displaystylef'(x)=\lim_{\Deltax\to0}{\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}}=\lim_{\Deltax\to0}{\frac{{\frac{g(x+\Deltax)}{h(x+\Deltax)}}-{\frac{g(x)}{h(x)}}}{\Deltax}}}
=
lim
Δ
x
→
0
1
Δ
x
⋅
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle=\lim_{\Deltax\to0}{\frac{1}{\Deltax}}\cdot{\frac{g(x+\Deltax)h(x)-g(x)h(x+\Deltax)}{h(x)h(x+\Deltax)}}}
=
lim
Δ
x
→
0
1
Δ
x
⋅
(
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
)
−
(
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
)
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle=\lim_{\Deltax\to0}{\frac{1}{\Deltax}}\cdot{\frac{(g(x+\Deltax)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Deltax)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Deltax)}}}
=
lim
Δ
x
→
0
1
Δ
x
⋅
h
(
x
)
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
−
g
(
x
)
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle=\lim_{\Deltax\to0}{\frac{1}{\Deltax}}\cdot{\frac{h(x)(g(x+\Deltax)-g(x))-g(x)(h(x+\Deltax)-h(x))}{h(x)h(x+\Deltax)}}}
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle=\lim_{\Deltax\to0}{\frac{{\frac{g(x+\Deltax)-g(x)}{\Deltax}}h(x)-g(x){\frac{h(x+\Deltax)-h(x)}{\Deltax}}}{h(x)h(x+\Deltax)}}}
=
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
lim
Δ
x
→
0
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
)
h
(
x
)
h
(
lim
Δ
x
→
0
(
x
+
Δ
x
)
)
{\displaystyle={\frac{\lim_{\Deltax\to0}\left({\frac{g(x+\Deltax)-g(x)}{\Deltax}}\right)h(x)-g(x)\lim_{\Deltax\to0}\left({\frac{h(x+\Deltax)-h(x)}{\Deltax}}\right)}{h(x)h(\lim_{\Deltax\to0}(x+\Deltax))}}}
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
[
h
(
x
)
]
2
{\displaystyle={\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
從乘積法則推出[編輯]
假設
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystylef(x)={\frac{g(x)}{h(x)}}}
。
那麼
g
(
x
)
=
f
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyleg(x)=f(x)h(x){\mbox{}}\,}
g
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
h
(
x
)
+
f
(
x
)
h
′
(
x
)
{\displaystyleg'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{}}\,}
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
−
f
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
g
′
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
⋅
h
′
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystylef'(x)={\frac{g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac{g'(x)-{\frac{g(x)}{h(x)}}\cdoth'(x)}{h(x)}}}
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
(
h
(
x
)
)
2
{\displaystylef'(x)={\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}}
從複合函數求導法則推出[編輯]
考慮恆等式,v≠0
u
v
=
1
4
[
(
u
+
1
v
)
2
−
(
u
−
1
v
)
2
]
{\displaystyle{\frac{u}{v}}\;=\;{\frac{1}{4}}\left[\left(u+{\frac{1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac{1}{v}}\right)^{2}\right]}
那麼:
d
(
u
v
)
d
x
=
1
4
d
d
x
[
(
u
+
1
v
)
2
−
(
u
−
1
v
)
2
]
{\displaystyle{\frac{d\left({\frac{u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac{1}{4}}{\frac{d}{dx}}\left[\left(u+{\frac{1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac{1}{v}}\right)^{2}\right]}
於是:
d
(
u
v
)
d
x
=
1
4
[
2
(
u
+
1
v
)
(
d
u
d
x
−
d
v
v
2
d
x
)
−
2
(
u
−
1
v
)
(
d
u
d
x
+
d
v
v
2
d
x
)
]
{\displaystyle{\frac{d\left({\frac{u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac{1}{4}}\left[2\left(u+{\frac{1}{v}}\right)\left({\frac{du}{dx}}-{\frac{dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac{1}{v}}\right)\left({\frac{du}{dx}}+{\frac{dv}{v^{2}dx}}\right)\right]}
展開,得:
d
(
u
v
)
d
x
=
1
4
[
4
v
d
u
d
x
−
4
u
v
2
d
v
d
x
]
{\displaystyle{\frac{d\left({\frac{u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac{1}{4}}\left[{\frac{4}{v}}{\frac{du}{dx}}-{\frac{4u}{v^{2}}}{\frac{dv}{dx}}\right]}
最後,把分子和分母同除以4,便得:
d
(
u
v
)
d
x
=
[
v
d
u
d
x
−
u
d
v
d
x
]
v
2
{\displaystyle{\frac{d\left({\frac{u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac{\left[v{\frac{du}{dx}}-u{\frac{dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}}
參見[編輯]
乘法定則
鏈式法則
取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=除法定则&oldid=71606678」
分類:除法求導法則隱藏分類:含有英語的條目
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